Đề bài

Cho \(\Delta ABC\) cân tại A và M là trung điểm của BC. Gọi N là trung điểm của AB, trên tia đối của NC lấy điểm K sao cho \(NK = NC\). Chứng minh rằng:

a) \(\Delta ABM = \Delta ACM\).

b) \(AM \bot BC\).

c) \(AK = 2.MB\).

d) \(KA \bot AM\).

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta ABM = \Delta ACM\) theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

b) Chứng minh \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) và \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \) suy ra \(AM \bot BC\).

c) Chứng minh AK = BC và BC = 2MB nên AK = 2MB.

d) Chứng minh hai góc so le trong \(\widehat {KAN} = \widehat {CBN}\) nên AK // BC, mà \(AM \bot BC\) nên \(AK \bot AM\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) có:

AB = AC (gt)

AM là cạnh chung

BM = CM (gt)

Suy ra \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (c.c.c)

b) Vì \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (cmt) suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này là hai góc kề bù nên \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \), suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) hay \(AM \bot BC\). (1)

c) Xét \(\Delta ANK\) và \(\Delta BNC\) có:

NA = NB (gt)

\(\widehat {ANK} = \widehat {BNC}\) (hai góc đối đỉnh)

NK = NC (gt)

suy ra \(\Delta ANK = \Delta BNC\) (c.g.c)

suy ra \(AK = BC\) (hai cạnh tương ứng).

Mà BC = 2.MB (vì M là trung điểm của BC)

Suy ra AK = 2.MB.

d) Vì \(\Delta ANK = \Delta BNC\) nên \(\widehat {KAN} = \widehat {CBN}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong. Do đó AK // BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AK \bot AM\).