Đề bài

Cho \(\Delta ABC\) có AB = AC. Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh \(\Delta ABI = \Delta ACI\) và \(AI \bot BC\).

b) Trên tia đối của tia IA lấy điểm K sao cho IA = IK. Chứng minh AB = KC.

c) Kẻ \(IE \bot AB\left( {E \in AB} \right)\), \(IF \bot KC\left( {F \in KC} \right)\). Chứng minh E, I, F thẳng hàng.

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta ABI = \Delta ACI\) theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

Suy ra \(\widehat {AIB} = \widehat {AIC}\).

Mà hai góc này kề bù nên suy ra \(\widehat {AIB} = 90^\circ \) hay \(AI \bot BC\).

b) Chứng minh \(\Delta ABI = \Delta KCI\) suy ra AB = KC.

c) Chứng minh \(\Delta BIE = \Delta CIF\) suy ra \(\widehat {BIE} = \widehat {CIF}\). Sử dụng tính chất hai góc kề bù suy ra \(\widehat {EIF} = 180^\circ \) nên E, I, F thẳng hàng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) có:

\(AB = AC\) (gt)

\(BI = CI\) (I là trung điểm của BC)

\(AI\) chung

Suy ra \(\Delta ABI = \Delta ACI\) (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {AIB} = \widehat {AIC}\).

Mà hai góc này kề bù nên \(\widehat {AIB} + \widehat {AIC} = 180^\circ \), suy ra \(\widehat {AIB} = \widehat {AIC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) hay \(AI \bot BC\).

b) Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta KCI\) có:

\(AI = KI\) (gt)

\(\widehat {AIB} = \widehat {KIC}\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(BI = CI\)

Suy ra \(\Delta ABI = \Delta KCI\) (c.g.c) suy ra AB = KC.

c) Vì \(\Delta ABI = \Delta KCI\) nên \(\widehat {ABI} = \widehat {KCI}\)

Xét \(\Delta BIE\) và \(\Delta CIF\) ta có:

\(\widehat {BEI} = \widehat {CFI}\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(\widehat {EBI} = \widehat {FCI}\)

\(BI = CI\)

Suy ra \(\Delta BIE = \Delta CIF\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó \(\widehat {BIE} = \widehat {CIF}\).

Mà \(\widehat {BIE}\) và \(\widehat {EIC}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {BIE} + \widehat {EIC} = 180^\circ \)

nên \(\widehat {EIC} + \widehat {CIF} = 180^\circ \) hay \(\widehat {EIF} = 180^\circ \) nên E, I, F thẳng hàng.