Đề bài

Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Chứng minh \(\Delta ABM = \Delta ACM\).

b) Chứng minh \(AM \bot BC\).

c) Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho \(MA = ME\). Kẻ \(BH \bot AC\) tại H, \(CK \bot BE\) tại K. Chứng minh \(AC//BE\) và M là trung điểm của đoạn thẳng HK.

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta ABM = \Delta ACM\) theo trường hợp cạnh cạnh cạnh.

b) Từ \(\Delta ABM = \Delta ACM\) suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) và hai góc này là hai góc kề bù suy ra \(AM \bot BC\).

c) Chứng minh \(\Delta AMC = \Delta EMB\) nên \(\widehat {ACM} = \widehat {EBM}\), suy ra AC // BE.

Chứng minh MH = MK và H, M, K thẳng hàng nên M là trung điểm của HK.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) có:

AB = AC (gt)

BM = CM (M là trung điểm của BC)

AM chung

Suy ra \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (c.c.c)

b) Vì \(\Delta ABM = \Delta ACM\) nên \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này là hai góc kề bù nên \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \)

Suy  ra \(\widehat {AMB} + \widehat {AMB} = 180^\circ \), do đó \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) hay \(AM \bot BC\).

c) +) Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta EMB\) có:

MA = ME (gt)

\(\widehat {AMC} = \widehat {EMB}\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(BM = CM\)

Suy ra \(\Delta AMC = \Delta EMB\) (hai cạnh góc vuông)

nên \(\widehat {ACM} = \widehat {EBM}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AC // BE.

+) Xét \(\Delta BHC\) và \(\Delta CKB\) có:

\(\widehat {BHC} = \widehat {CKB}\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(\widehat {HCB} = \widehat {KBC}\) (cmt)

BC chung

suy ra \(\Delta BHC = \Delta CKB\) (cạnh huyền – góc nhọn)

suy ra \(BH = CK;\widehat {HBC} = \widehat {KCB}\) (hai cạnh và hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta BMH\) và \(\Delta CMK\) có:

\(BH = CK\) (cmt)

\(\widehat {HBM} = \widehat {KCM}\) (cmt)

\(BM = CM\)

Suy ra \(\Delta BMH = \Delta CMK\) (c.g.c)

Do đó MH = MK (1) và \(\widehat {BMH} = \widehat {CMK}\)(hai cạnh và hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {BMH} + \widehat {HMC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {CMK} + \widehat {HMC} = 180^\circ \), do đó H, M, K thẳng hàng. (2)

Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của HK.