Đề bài

Cho các số \(x,y\) thỏa mãn đẳng thức \(\frac{1}{2}{x^2} + 2{y^2} - x + 2y + 1 = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(M = {\left( {x + 2y} \right)^{2022}} + {\left( {x - 2} \right)^{2023}} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^{2024}}\).

Phương pháp giải

Biến đổi đẳng thức \(\frac{1}{2}{x^2} + 2{y^2} - x + 2y + 1 = 0\) bằng cách nhân hai vế với 2.

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu để giải tìm x, y.

Thay vào M để tính giá trị của M.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Nhân hai vế của đẳng thức \(\frac{1}{2}{x^2} + 2{y^2} - x + 2y + 1 = 0\) với 2, ta được:

\(\begin{array}{l}2\left( {\frac{1}{2}{x^2} + 2{y^2} - x + 2y + 1} \right) = 0\\{x^2} + 4{y^2} - 2x + 4y + 2 = 0\\\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {4{y^2} + 4y + 1} \right) = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {2y + 1} \right)^2} = 0\end{array}\)

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi x, \({\left( {2y + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi y.

Để \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {2y + 1} \right)^2} = 0\) thì \(x - 1 = 0\) và \(2y + 1 = 0\), suy ra \(x = 1\) và \(y = \frac{{ - 1}}{2}\).

Thay vào M, ta được:

\(\begin{array}{l}M = {\left[ {1 + 2.\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)} \right]^{2022}} + {\left( {1 - 2} \right)^{2023}} + {\left( { - \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \right)^{2024}}\\ = {\left( {1 - 1} \right)^{2022}} + {\left( { - 1} \right)^{2023}} + {1^{2024}}\\ = 0 - 1 + 1 = 0\end{array}\)