Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Trên tia đối của tia MN lấy điểm D sao cho MD = MN.

a) Chứng minh tứ giác BDCN là hình bình hành.

b) Chứng minh AD = BN.

c) Cho biết độ dài AM = 5cm, AC = 8cm. Tính diện tích tam giác vuông ABC?

Phương pháp giải

a) Chứng minh BDCN có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Chứng minh ABDN là hình chữ nhật nên hai đường chéo AD và BN bằng nhau.

c) Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền để tính BC.

Áp dụng định lí Pythagore để tính AB.

Tính diện tích tam giác vuông bằng \(\frac{1}{2}\) tích hai cạnh góc vuông.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét tứ giác BNCD có:

M là giao điểm của BC và DN

M là trung điểm của BC (gt)

M là trung điểm của ND (gt)

Suy ra BNCD là hình bình hành.

b) Vì tứ giác BNCD là hình bình hành nên BD // CN, BD = CN.

Mà AN = NC (vì N là trung điểm của AC)

nên BD // AN; BD = AN.

Xét tứ giác ABDN có:

BD // AN; BD = AN

Suy ra ABDN là hình bình hành.

Mà \(\widehat {BAN} = 90^\circ \) nên ABDN là hình chữ nhật.

Suy ra AD = BN

c) Xét tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC nên AN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(AM = \frac{1}{2}BC\), suy ra \(BC = 2AM = 2.5 = 10\left( {cm} \right)\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {10^2} - {8^2} = 100 - 64 = 36\) suy ra \(AB = \sqrt {36}  = 6\left( {cm} \right)\).

Vậy diện tích tam giác ABC là:

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24\left( {c{m^2}} \right)\)