Đề bài

Cho biểu thức \(A = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\) và \(B = \frac{x}{{x - 1}} + \frac{3}{{x + 1}} - \frac{{6x - 4}}{{{x^2} - 1}}\) (với \(x \ne \pm 1\))

a) Tính giá trị của A khi \(x = 2\).

b) Chứng minh rằng biểu thức \(B = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\).

c) Tìm các số nguyên dương \(x\) để biểu thức \(P = A.B\) nhận giá trị là số nguyên.

Phương pháp giải

a) Thay \(x = 2\) vào A để tính giá trị.

b) Quy đồng mẫu để rút gọn biểu thức B.

c) Tính \(P = A.B\), Sử dụng kiến thức về ước và bội, dấu hiệu chia hết để biện luận giá trị biểu thức là số nguyên.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Thay \(x = 2\) (thỏa mãn điều kiện) vào A, ta được: \(A = \frac{{2.2 - 3}}{{2 - 1}} = \frac{1}{1} = 1\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}B = \frac{x}{{x - 1}} + \frac{3}{{x + 1}} - \frac{{6x - 4}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{6x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + x + 3x - 3 - 6x + 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + \left( {x + 3x - 6x} \right) + \left( { - 3 + 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\end{array}\)

Vậy \(B = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\).

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}P = A.B = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}.\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\\ = \frac{{2x + 2 - 5}}{{x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right) - 5}}{{x + 1}} = 2 - \frac{5}{{x + 1}}\end{array}\)

Để P nguyên thì \(2 - \frac{5}{{x + 1}}\) nguyên, suy ra \(\frac{5}{{x + 1}}\) nguyên.

\(\frac{5}{{x + 1}}\) nguyên khi \(5 \vdots \left( {x + 1} \right)\) hay \(\left( {x + 1} \right) \in \) Ư(5) = \(\left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\).

Ta có bảng giá trị sau:

Vì \(x\) là số nguyên dương nên \(x = 4\) thỏa mãn.

Vậy biểu thức \(P = A.B\) nhận giá trị là số nguyên khi \(x = 4\).

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \frac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\frac{2}{x} - 1} \right)\)

a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của biểu thức A tại x thỏa mãn: \({x^2} + 3x = 0\).

c) Tìm x để \(A = \frac{1}{2}\).

d) Tìm x nguyên để A nguyên dương.

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Cho các biểu thức \(P = \frac{1}{{x + 5}} + \frac{2}{{x - 5}} - \frac{{2x + 10}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}\); \(Q = \frac{{x - 4}}{{{x^2} - 25}}\) với \(x \ne \pm 5\).

a) Tính giá trị Q với \(x = 6\).

b) Rút gọn biểu thức P.

c) Đặt \(A = \frac{P}{Q}\). Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\dfrac{{{x^2} - 9}}{{x - 2}}:\dfrac{{x - 3}}{x}\)

b) \(\dfrac{x}{{{z^2}}} \cdot \dfrac{{xz}}{{{y^3}}}:\dfrac{{{x^3}}}{{yz}}\)

c) \(\dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{x}:\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{x} \cdot \dfrac{{{x^2}}}{2}\)

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Tính:

a) \(\left( {\dfrac{{1 - x}}{x} + {x^2} - 1} \right):\dfrac{{x - 1}}{x}\)

b) \(\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{x}} \right) \cdot \dfrac{{{x^2}}}{y} + \dfrac{x}{y}\)

c) \(\dfrac{3}{x} - \dfrac{2}{x}:\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{{{x^2}}}{3}\)

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Trên một dòng sông, một con thuyền đi xuôi dòng với tốc độ \(x + 3\) km/h và đi ngược dòng với tốc độ \(x - 3\) km/h (\(x > 3)\).

a) Xuất phát từ bến A, thuyền đi xuôi dòng trong 4 giờ, rồi đi ngược dòng trong 2 giờ. Tính quãng đường thuyền đã đi. Lúc này thuyền cách bến A bao xa?

b) Xuất phát từ bến A, thuyền đi xuôi dòng đến bến B cách bến A \(15\)km, nghỉ \(30\) phút, rồi quay về bến A. Sau bao lâu kể từ lúc xuất phát thì thuyền quay về đến bến A?

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Thực hiện phép tính:

\(a)\dfrac{x}{{xy + {y^2}}} - \dfrac{y}{{{x^2} + xy}}\)

\(b)\dfrac{{{x^2} + 4}}{{{x^2} - 4}} - \dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{2 - x}}\)

\(c)\dfrac{{{a^2} + ab}}{{b - a}}:\dfrac{{a + b}}{{2{{\rm{a}}^2} - 2{b^2}}}\)

\(d)\left( {\dfrac{{2{\rm{x}} + 1}}{{2{\rm{x}} - 1}} - \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}}} \right):\dfrac{{4{\rm{x}}}}{{10{\rm{x}} - 5}}\)

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Cho biểu thức:

\(A = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{2{\rm{x}} - 2}} + \dfrac{3}{{{x^2} - 1}} - \dfrac{{x + 3}}{{2{\rm{x}} + 2}}} \right).\dfrac{{4{{\rm{x}}^2} - 4}}{5}\)

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức A

b) Chứng minh giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Cho biểu thức:

\(B = \left( {\dfrac{{5{{x}} + 2}}{{{x^2} - 10{{x}}}} + \dfrac{{5{{x}} - 2}}{{{x^2} + 10{{x}}}}} \right).\dfrac{{{x^2} - 100}}{{{x^2} + 4}}\)

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức B

b) Rút gọn B và tính giá trị của biểu thức B tại x = 0,1

c) Tìm số nguyên x để biểu thức B nhận giá trị nguyên.

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Số tiền hằng năm A (triệu đô la Mỹ) mà người Mỹ chi cho việc mua đồ ăn, đồ uống khi ra khỏi nhà và dân số P (triệu người) hằng năm của nước Mỹ từ năm 2000 đến năm 2006 lần lượt cho bởi công thức sau:

\(A = \dfrac{{ - 8242,58t + 348299,6}}{{ - 0,06t + 1}}\) với \(0 \le t \le 6;P = 2,71t + 282,7\) với \(0 \le t \le 6\)

Trong đó, t là số năm tính từ năm 2000, t = 0 tương ứng với năm 2000

(Nguồn: U.S Bureau of Economic Analysis and U.S Census Bureau)

Viết phân thức biểu thị (theo t) số tiền bình quân hằng năm mà mỗi người Mỹ đã chi cho việc mua đồ ăn, đồ uống khi ra khỏi nhà.

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Trong Hình 2.5, hình bình hành F có diện tích là \(8{x^2} + 14x + 3\) mét vuông và chiều cao là \(2x + 3\) mét. Hình bình hành G có diện tích là \(12{x^2} - 4x\) mét vuông và chiều cao là \(3x - 1\) mét. Tính diện tích của tam giác vuông H theo x.

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Một hàng rào được dựng bao quanh một mảnh đất hình chữ nhật diện tích \(500{m^2}\). Gọi \(x\) (m) là độ dài một cạnh của hàng rào.

a) Viết một phân thức theo \(x\) biểu diễn chu vi của hàng rào.

b) Tính chu vi đó khi \(x = 25\left( m \right)\).

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Tính:

a) \(\left( {a + 1 + \frac{{1 - 2{a^2}}}{{a - 1}}} \right):\left( {1 - \frac{1}{{1 - a}}} \right)\);

b) \(\left( {\frac{a}{{{b^2}}} - \frac{1}{a}} \right):\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{a}} \right)\);

c) \(\left( {a - \frac{{4ab}}{{a + b}} + b} \right).\left( {a + \frac{{4ab}}{{a - b}} - b} \right)\);

d) \(ab + \frac{{ab}}{{a + b}}\left( {\frac{{a + b}}{{a - b}} - a - b} \right)\).

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) \(A = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - 1} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}\) tại \(x = 5;y = 7\)

b) \(B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} - 4{x^2}}} + \frac{{2x - y}}{{2{x^2} + xy}}\) tại \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\)

c) \(C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} - \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x - y}}} \right) - \frac{x}{y}\) tại \(x = - 15;y = 5\)

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Cho biểu thức: \(D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \(D\)

b) Tính giá trị của biểu thức \(D\) tại \(x = 5947\)

c) Tìm giá trị của \(x\) để \(D\) nhận giá trị nguyên.

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Cho biểu thức: \(S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức \(S\) tại \(x = 0,1\)

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S\)

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Thực hiện phép tính:

\(\begin{array}{l}a)\frac{{4{{\rm{x}}^2} - 1}}{{16{{\rm{x}}^2} - 1}}.\left( {\frac{1}{{2{\rm{x}} + 1}} + \frac{1}{{2{\rm{x}} - 1}} + \frac{1}{{1 - 4{{\rm{x}}^2}}}} \right)\\b)\left( {\frac{{x + y}}{{xy}} - \frac{2}{x}} \right).\frac{{{x^3}{y^3}}}{{{x^3} - {y^3}}}\end{array}\)

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Tìm đa thức P trong các đẳng thức sau:

a) \(P + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{x}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 4}}\)

b) \(P - \frac{{4\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}} = \frac{{16}}{{x - 2}}\)

c) \(P.\frac{{x - 2}}{{x + 3}} = \frac{{{x^2} - 4{\rm{x}} + 4}}{{{x^2} - 9}}\)

d) \(P:\frac{{{x^2} - 9}}{{2{\rm{x}} + 4}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} + 3{\rm{x}}}}\)

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Rút gọn biểu thức sau:

a) \(\frac{2}{{3{\rm{x}}}} + \frac{x}{{x - 1}} + \frac{{6{{\rm{x}}^2} - 4}}{{2{\rm{x}}\left( {1 - x} \right)}}\)

b) \(\frac{{{x^3} + 1}}{{1 - {x^3}}} + \frac{x}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

c) \(\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{2}{{1 - x}}} \right).\frac{{{x^2} - 4}}{{4{{\rm{x}}^2} - 1}}\)

d) \(1 + \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}}\left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{1}{{1 - {x^2}}}} \right)\)

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Cho biểu thức: \(A = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 36}} + \frac{{6 - x}}{{6x + {x^2}}}} \right):\frac{{2x - 6}}{{{x^2} + 6x}} + \frac{x}{{6 - x}}\).

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức A.

b) Rút gọn biểu thức trên.

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Cho biểu thức \(N = \left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{x}{{x - 1}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}} \right).\frac{{x - 1}}{{2 + x}}\).

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \(N\)

b) Rút gọn biểu thức \(N\)

c) Tính giá trị của biểu thức \(N\) khi \(\left| x \right| = 2\)

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Cho \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{x + y + z}}\). Chứng minh rằng \(\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}\)

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Cho \(A = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4x}}{{4 - {x^2}}}\) với \(x \ne \pm 2.\)

a) Rút gọn biểu thức \(A\).

b) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 4\).

c) Tìm giá trị nguyên của \(x\) để \(A\) nhận giá trị nguyên dương.

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Cho \(P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}\) với \(x \ne 1.\)

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 2.\)

c) Chứng minh \(P > 0\) với \(x > 0,\,x \ne 1.\)

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Cho biểu thức \(A = \frac{{5x - 2}}{{{x^2} - 4}} - \frac{3}{{x + 2}} + \frac{x}{{x - 2}}\).

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(A.\)

b) Rút gọn biểu thức \(A.\)

c) Tính giá trị của biểu thức \(A\) với \(x\) thỏa mãn \(\left| {x + 3} \right| = 5.\)

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Giải phương trình

a) \(2\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right) = \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) - 27\)

b) \({x^2} - 4 - \left( {x + 5} \right)\left( {2 - x} \right) = 0\)

c) \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{4}{{{x^2} - 4}}\)

d) \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 2}}{{x + 3}} + \frac{4}{{{x^2} + 2x - 3}} = 0\)

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\left( {\frac{1}{{{x^2} + x}} - \frac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{x} + x - 2} \right)\);

b) \(\left( {\frac{{3x}}{{1 - 3x}} + \frac{{2x}}{{3x + 1}}} \right):\frac{{6{x^2} + 10x}}{{1 - 6x + 9{x^2}}}\)

Xem lời giải >>

Bài 27 :

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\left( {\frac{9}{{{x^3} - 9x}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right):\left( {\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 3x}} - \frac{x}{{3x + 9}}} \right)\);

b) \(\frac{{x + 1}}{{x + 2}}\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 3}}:\frac{{x + 3}}{{x + 1}}} \right)\).

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{1 - {x^3}}}.\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right):\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\)

a) Viết điều kiện xác định của P.

b) Rút gọn biểu thức P.

c) Tính giá trị của P khi \(x = \frac{1}{2}\).

Xem lời giải >>

Bài 29 :

a) Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

b) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Xem lời giải >>

Bài 30 :

Một bể nước có hai vòi thoát. Biết rằng khi bể chứa đầy nước thì thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể mà chỉ dùng vòi thứ nhất là x (giờ) và thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể mà chỉ dùng vòi thứ hai là y (giờ).

a) Viết phân thức biểu thị thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể (khi bể chứa đầy nước) nếu mở cả hai vòi.

b) Tính thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể (khi bể chứa đầy nước) nếu mở cả hai vòi, biết rằng khi chỉ mở một vòi, vòi thứ nhất xả hết nước trong 2 giờ, vòi thứ hai xả hết nước trong 3 giờ.

Xem lời giải >>