Đề bài

Có hai xã A, B cùng ở một bên bờ sông. Khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA′ = 500 m, BB′ = 600 m. Người ta đo được A’B’ = 2200 m như hình vẽ dưới đây. Các kỹ sư muốn xây dựng một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân của hai xã sử dụng. Để tiết kiệm chi phí, các kỹ sư phải chọn một vị trí M của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A’B’ sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí M là nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Lập hàm số tính khoảng cách AM + MB.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số vừa tìm được bằng cách ứng dụng đạo hàm.

Đặt A’M = x (0 < x < 2200), B’M = 2200 – x (m).

Ta có \(AM = \sqrt {{x^2} + {{500}^2}} \), \(BM = \sqrt {{{(2200 - x)}^2} + {{600}^2}} \) (m).

Tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí M là:

\(AM + BM = \sqrt {{x^2} + {{500}^2}}  + \sqrt {{{(2200 - x)}^2} + {{600}^2}} \) (m).

Xét hàm số \(f(x) = \sqrt {{x^2} + {{500}^2}}  + \sqrt {{{(2200 - x)}^2} + {{600}^2}} \) (m).

Đạo hàm \(f'(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{500}^2}} }} + \frac{x}{{\sqrt {{{(2200 - x)}^2} + {{600}^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1000\) (m).

Bảng biến thiên:

Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông là khoảng 2460 m, tại vị trí M cách điểm A’ là 1000 m.