Đề bài

Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 8 m. Người treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh M, N nằm trên Parabol và hai đỉnh P, Q nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô đen) người ta mua hoa để trang trí hoa, biết MN = 4 m, MQ = 6 m. Diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa (phần không tô đen) là bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Tính diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa bằng cách tính diện khoảng trống giới hạn bởi cổng parabol với mặt đất rồi trừ đi diện tích tấm phông chữ nhật MNPQ.

+ Chọn hệ trục tọa độ phù hợp, xác định tọa độ các điểm.

+ Ứng dụng hình học của tích phân tính diện tích.

Gọi \({S_P}\) là diện tích khoảng trống giới hạn bởi cổng parabol với mặt đất, \({S_{MNPQ}}\) là diện tích tấm phông hình chữ nhật MNPQ, S là diện tích phần ngoài phông cần tính.

Khi đó, \(S = {S_P} - {S_{MNPQ}} = {S_P} - MN.MQ = {S_P} - 4.6 = {S_P} - 24\).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Gọi đồ thị cổng parabol có phương trình là \(y = a{x^2} + bx + c\).

Vì parabol đi qua các điểm có tọa độ (4;0), (-4;0) và (2;6) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.4^2} + b.4 + c\\0 = a.{( - 4)^2} + b.( - 4) + c\\6 = a{.2^2} + b.2 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{2}\\b = 0\\c = 8\end{array} \right. \Rightarrow \) Đồ thị cổng parabol có phương trình là \(y =  - \frac{1}{2}{x^2} + 8\).

\({S_P}\) là phần hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y =  - \frac{1}{2}{x^2} + 8\) và trục hoành nên:

\({S_P} = \int\limits_{ - 4}^4 {\left| { - \frac{1}{2}{x^2} + 8} \right|dx}  = \int\limits_{ - 4}^4 {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 8} \right)dx}  = \frac{{128}}{3}\) \(({m^2})\).

Vậy diện tích phía ngoài phông để trang trí hoa là \(S = {S_P} - 24 = \frac{{128}}{3} - 24 = \frac{{56}}{3} \approx 18,7\) \(({m^2})\).

Mở rộng

Để giải bài toán, áp dụng các lý thuyết và công thức sau:

1. Phương pháp tọa độ:

Việc sử dụng hệ trục tọa độ là một nguyên tắc cơ bản của hình học giải tích để chuyển bài toán hình học sang bài toán đại số. Hệ trục được chọn sao cho phương trình parabol có dạng đơn giản nhất.

2. Xác định phương trình đường parabol:

Phương trình parabol có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Từ các điểm mà đồ thị qua, thay tọa độ vào phương trình trên để tìm được hệ số a, b, c.

3. Diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành, đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).