Đề bài

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Tìm đoạn vuông góc chung của AB và CD.

Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của AB, CD.

Các tam giác đều ABC, ABD có I là trung điểm của AB nên

\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CI\\AB \bot DI\end{array} \right.\), suy ra \(AB \bot (ICD)\), mà \(IJ \subset (ICD)\) nên \(AB \bot IJ\) (1).

Tương tự, các tam giác đều ACD, BCD có J là trung điểm của CD nên

\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AJ\\CD \bot BJ\end{array} \right.\), suy ra \(CD \bot (ABJ)\), mà \(IJ \subset (ABJ)\) nên \(CD \bot IJ\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB, CD. Vậy, IJ là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD.

CI là đường cao tam giác đều ABC cạnh 2 nên \(CI = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).

Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác CIJ vuông tại J, ta có:

\(IJ = \sqrt {C{I^2} - C{J^2}}  = \sqrt {3 - 1}  = \sqrt 2  \approx 1,41\).