Đề bài

Cho hàm số f(x) = sin2x – x.

a) \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\); \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) =  - \frac{\pi }{2}\).

Đúng

Sai

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f’(x) = cos2x – 1.

Đúng

Sai

c) Nghiệm của phương trình f’(x) = 0 trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \( - \frac{\pi }{6}\) hoặc \(\frac{\pi }{6}\).

Đúng

Sai

d) Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \( - \frac{\pi }{2}\).

Đúng

Sai

Đáp án

a) \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\); \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) =  - \frac{\pi }{2}\).

Đúng

Sai

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f’(x) = cos2x – 1.

Đúng

Sai

c) Nghiệm của phương trình f’(x) = 0 trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \( - \frac{\pi }{6}\) hoặc \(\frac{\pi }{6}\).

Đúng

Sai

d) Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \( - \frac{\pi }{2}\).

Đúng

Sai

Phương pháp giải

a) Thay \( - \frac{\pi }{2}\), \(\frac{\pi }{2}\) vào x của phương trình rồi tính.

b) Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp lượng giác: (sinu)’ = u’.cosu.

c) Nếu \(\cos \alpha  = m\) thì \(\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

Dựa vào khoảng hoặc đoạn đề bài cho, tìm các giá trị k thỏa mãn rồi thay vào công thức nghiệm và kết luận.

d) Thay giá trị hai đầu mút của đoạn và các giá trị sao cho f’(x) = 0 vào f(x) và tìm giá trị nhỏ nhất.

a) Đúng. \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \sin ( - \pi ) - \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\) và \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sin (\pi ) - \frac{\pi }{2} =  - \frac{\pi }{2}\).

b) Sai. f’(x) = 2cos2x – 1.

c) Đúng. \(2\cos 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

+) \( - \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow  - \frac{\pi }{2} \le \frac{\pi }{6} + k\pi  \le \frac{\pi }{2} \)

\(\Leftrightarrow  - \frac{{2\pi }}{3} \le k\pi  \le \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow  - \frac{2}{3} \le k \le \frac{1}{3} \Rightarrow k = 0\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\)).

Suy ra \(x = \frac{\pi }{6} + 0.\pi  = \frac{\pi }{6}\).

+) \( - \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2} \Rightarrow  - \frac{\pi }{2} \le  - \frac{\pi }{6} + k\pi  \le \frac{\pi }{2} \)

\(\Leftrightarrow  - \frac{\pi }{3} \le k\pi  \le \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow  - \frac{1}{3} \le k \le \frac{2}{3} \Rightarrow k = 0\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\)).

Suy ra \(x =  - \frac{\pi }{6} + 0.\pi  =  - \frac{\pi }{6}\).

Vậy trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thì f’(x) = 0 có hai nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6}\); \(x =  - \frac{\pi }{6}\).

d) Đúng. f(x) = sin2x – x;

 f’(x) = 2cos2x – 1 có nghiệm \(x =  \pm \frac{\pi }{6} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\).

\(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\); \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) =  - \frac{\pi }{2}\); \(f\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{\pi }{6}\); \(f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{6}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \( - \frac{\pi }{2}\).