Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho MB > MC. Qua M vẽ MD vuông góc với AB tại D và ME vuông góc với AC tại E.

a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật và AM = DE.

b) Trên tia đối của tia DM lấy điểm N sao cho DM = DN. Gọi O là giao điểm của DE và AM. Chứng minh tứ giác ANDE là hình bình hành và AN = 2AO.

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác ADME có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật, suy ra AM = DE (hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau.

b) Chứng minh tứ giác ANDE có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

Chứng minh AN = AM và AM = 2.AO nên AN = 2.AO.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét tứ giác ADME có:

\(\widehat {DAE} = 90^\circ \) (tam giác ABC vuông tại A)

\(\widehat {ADM} = 90^\circ \) (MD vuông góc với AB tại D)

\(\widehat {AEM} = 90^\circ \) (ME vuông góc với AC tại E)

Suy ra tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Do đó AM = DE (hai đường chéo bằng nhau)

b) Vì ADME là hình chữ nhật nên DM // AE và DM = AE.

Xét tứ giác ANDE có:

DN // AE (vì DM // AE)

DN = AE (= DM)

Suy ra tứ giác ANDE là hình bình hành.

Suy ra AN = DE, mà AM = DE nên AN = AM.

Mà AM = 2.AO (do O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật)

Do đó AN = 2.AO.