Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất của phân thức: \(A = \frac{5}{{4{x^2} - 12x + 14}}\).

Phương pháp giải

Biến đổi mẫu thức để đánh giá phân thức sao cho \(A\left( x \right) \le M\).

Giá trị lớn nhất của biểu thức là M, giải để tìm x.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(4{x^2} - 12x + 14 = {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.3 + 9 + 5 = {\left( {2x - 3} \right)^2} + 5\)

Vì \({\left( {2x - 3} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \({\left( {2x - 3} \right)^2} + 5 \ge 5\)

Do đó \(A = \frac{5}{{4{x^2} - 12x + 14}} = \frac{5}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2} + 5}} \le \frac{5}{5} = 1\)

Dấu “=” xảy ra khi \(2x - 3 = 0\) suy ra \(x = \frac{3}{2}\).

Vậy giá trị lớn nhất của phân thức A là 1 khi \(x = \frac{3}{2}\).