Đề bài

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A (AB < AC) có I là trung điểm BC. Gọi K là điểm đối xứng của A qua I.

a) Chứng minh ABKC là hình chữ nhật.

b) Gọi D, E lần lượt là trung điểm AB và BK. Chứng minh rằng ID \( \bot \)AB và \(DI = \frac{1}{2}BK\)

c) Qua I vẽ đường thẳng vuông góc với BI tại I và cắt BA, BK lần lượt tại F và G. Gọi H, J lần lượt là trung điểm của FI và IG. Chứng minh rằng DH // EJ.

Phương pháp giải

a) Chứng minh ABKC là hình bình hành có một góc vuông.

b) Chứng minh tam giác AIB cân tại I nên ID là đường cao của tam giác AIB.

Từ đó chứng minh BDIE là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông) nên DI = BE.

Mà E là trung điểm của BK nên suy ra \(DI = \frac{1}{2}BK\).

c) Gọi L là trung điểm của FG. Chứng minh DH // BL và và BL // EJ nên DH // EJ.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét tứ giác ABKC có:

AK và BC cắt nhau tại I

I là trung điểm của AK ( K đối xứng với A qua I)

I là trung điểm của BC

Suy ra ABKC là hình bình hành

Mà tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat A = 90^\circ \), suy ra ABKC là hình chữ nhật.

b) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AI = IB, suy ra tam giác AIB cân tại I.

Vì D là trung điểm của AB nên ID là đường trung tuyến của tam giác AIB, do đó ID đồng thời là đường cao của tam giác AIB nên \(ID \bot AB\) hay \(\widehat {IDB} = 90^\circ \).

Chứng minh tương tự ta có \(IE \bot BK\) hay \(\widehat {BEI} = 90^\circ \).

ABCD là hình chữ nhật nên \(\widehat {DBE} = 90^\circ \).

Xét tứ giác BDIE, ta có:

\(\widehat {IDB} = \widehat {DBE} = \widehat {BEI} = 90^\circ \) nên BDIE là hình chữ nhật. Do đó ID = BE.

Mà BE = EK = \(\frac{1}{2}\)BK nên ID = \(\frac{1}{2}\)BK.

c) Xét tam giác vuông FDI có H là trung điểm của FI nên DH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác FDI.

Do đó DH = FH, suy ra tam giác DHF cân tại H. Từ đó suy ra \(\widehat {DFH} = \widehat {FDH}\) (1).

Chứng minh tương tự, ta có tam giác FLB cân tại L, suy ra \(\widehat {BFL} = \widehat {FBL}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {FDH} = \widehat {FBL}\). Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DH // BL (3).

Chứng minh tương tự, ta được BL // EJ (4).

Từ (3) và (4) suy ra DH // EJ.