Đề bài

Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(B = 2014 - 2{x^2} - {y^2} + 2xy - 8x + 2y\).

Phương pháp giải

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi đưa biểu thức về dạng \(A - B\left( x \right) - C\left( x \right)\) với \(B\left( x \right),C\left( x \right)\) là hai biểu thức bậc hai.

Khi đó \(A - B\left( x \right) - C\left( x \right) \le A\), khi đó giá trị giá trị lớn nhất của biểu thức là A khi \(B\left( x \right) = 0\) và \(C\left( x \right) = 0\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có:

\(\begin{array}{c}B = 2014 - 2{x^2} - {y^2} + 2xy - 8x + 2y\\ = 2024 - 1 - 9 - {x^2} - {x^2} - {y^2} + 2xy - 8x + 2y\\ = 2024 - \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - 1 - {x^2} - 8x + 2y - 9\\ = 2024 - \left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} - 2x + 2y - 1} \right] - {x^2} - 6x - 9\\ = 2024 - \left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2\left( {x - y} \right) + 1} \right] - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right)\\ = 2024 - {\left( {x - y + 1} \right)^2} - {\left( {x + 3} \right)^2}\end{array}\)

Vì \({\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi x, y và \({\left( {x + 3} \right)^2} \ge 0\) với mọi x nên \(B = 2024 - {\left( {x - y + 1} \right)^2} - {\left( {x + 3} \right)^2} \le 0\) với mọi x, y.

Dấu “=” xảy ra khi \(x + 3 = 0\) và \(x - y + 1 = 0\), suy ra \(x =  - 3\) và \(y =  - 2\).

Vậy giá trị lớn nhất của B = 2024 khi \(x =  - 3\) và \(y =  - 2\).