Đề bài

1. Sau trận bão lớn, một cái cây bị gãy ngang (như hình vẽ). Ngọn cây chạm mặt đất cách gốc 3m. Đoạn thân cây còn lại (vuông góc với mặt đất) người ta đo được là 4m. Hỏi lúc đầu cây cao bao nhiêu mét?

2. Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có AB < AC, đường cao AH \(\left( {H \in BC} \right)\). Kẻ \(HM \bot AB\left( {M \in AB} \right)\), \(HN \bot AC\left( {N \in AC} \right)\).

a) Chứng minh AMHN là hình chữ nhật.

b) Gọi I là trung điểm của HC, trên tia đối của tia IA lấy điểm K sao cho I là trung điểm của AK. Chứng minh KH // AC và MN = CK.

c) Gọi O là giao điểm của AH và MN, gọi D là giao điểm của CO và AK. Chứng minh AK = 3AD.

Phương pháp giải

1. Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông để tính AB. Chiều cao của cây lúc đầu bằng tổng đoạn AB và AC.

2.

a) Chứng minh AMHN có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

b) - Chứng minh tứ giác AHKC là hình bình hành suy ra AC // HK và AH = CK.

- Chỉ ra AH = MN (do AMHN là hình chữ nhật) suy ra CK = MN.

c) Chỉ ra D là trọng tâm của tam giác AHC, suy ra AD = \(\frac{2}{3}\) AI.

Chỉ ra \(AI = \frac{1}{2}AK\) nên AK = 3AD.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

1.

Xét tam giác ABC vuông tại C. Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} = {4^2} + {3^2} = 25\)

suy ra \(AB = 5\left( m \right)\) (vì \(AB > 0\))

Chiều cao của cây lúc đầu là: AC + AB = 4 + 5 = 9 (m).

2.

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat A = 90^\circ \).

Vì \(HM \bot AB\left( {M \in AB} \right)\) \(HN \bot AC\left( {N \in AC} \right)\) nên \(\widehat {HMA} = \widehat {HNA} = 90^\circ \).

Tứ giác AMHN có: \(\widehat A = \widehat {HMA} = \widehat {HNA} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.

b) Xét tứ giác AHKC có: HC cắt AK tại I và AI = IK (gt), HI = IC (gt) suy ra tứ giác AHKC là hình bình hành, do đó \(AC//HK\) và AH = CK.

Mà AH = MN (hai đường chéo của hình chữ nhật AMHN bằng nhau) nên MN = CK.

c) Xét tam giác AHC có CO và AI là hai đường trung tuyến và CO cắt AI tại D nên D là trọng tâm của tam giác AHC. Do đó \(AD = \frac{2}{3}AI\) (tính chất của trọng tâm)

Mà \(AI = \frac{1}{2}AK\) (do I là trung điểm của AK)

Do đó \(AD = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}AK = \frac{1}{3}AK\) hay \(AK = 3AD\).