Đề bài

Nhà máy A chuyển sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là x tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(P(x) = 45 - 0,001{x^2}\) (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng là \(C(x) = 100 + 30x\) triệu đồng (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Nhà máy A bán cho B bao nhiêu tấn sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Lập hàm số tính lợi nhuận của nhà máy (Lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí).

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số vừa tìm được trên đoạn [0;100].

Doanh thu của nhà máy khi sản xuất 1 tấn sản phẩm là P(x) triệu đồng.

Doanh thu của nhà máy khi sản xuất x tấn sản phẩm là xP(x) triệu đồng.

Chi phí của nhà máy khi sản xuất x tấn sản phẩm là C(x) triệu đồng.

Vì Lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí nên ta có lợi nhuận của nhà máy A khi sản xuất x tấn sản phẩm là:

\(H(x) = xP(x) - C(x)\)

\(= x(45 - 0,001{x^2}) - (100 + 30x) \)

\(=  - 0,001{x^3} + 15x - 100\), với \(0 \le x \le 100\).

\(H'(x) =  - 0,003{x^2} + 15\).

\(H'(x) = 0 \Leftrightarrow  - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 50\sqrt 2 \\x =  - 50\sqrt 2 \end{array} \right.\)

Chỉ có \(x = 50\sqrt 2 \) thỏa mãn điều kiện.

Ta có: \(H(0) =  - 100\); \(H(50\sqrt 2 ) \approx 607 \); \(H(100) = 400\).

Vậy lợi nhuận lớn nhất khi A sản xuất \(50\sqrt 2  \approx 70,7\) tấn sản phẩm.

Mở rộng

Các lý thuyết được ứng dụng:

1. Xây dựng hàm lợi nhuận:

Lợi nhuận thu được bằng Doanh thu trừ đi Chi phí. Doanh thu từ việc bán sản phẩm được tính bằng số lượng sản phẩm bán ra nhân với giá bán trên mỗi đơn vị sản phẩm. Chi phí sản xuất được cho trực tiếp bởi hàm chi phí.

2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

Để tìm giá trị lớn nhất của một hàm số liên tục có đạo hàm trên đoạn [a; b], ta thực hiện các bước sau:

- Tìm đạo hàm của hàm số.

- Tìm các điểm cực trị (điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định) nằm trong khoảng (a; b).

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị tìm được và tại hai điểm mút a, b của đoạn.

 - So sánh các giá trị này; giá trị lớn nhất trong số đó chính là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [a; b].