Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng \(2\sqrt 2 \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Đưa về tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, áp dụng quan hệ song song.

Gọi O là giao điểm của AC, BD. Khi đó, AC = 2OC.

Vì AB // (SCD) suy ra \(d(AB;SD) = d(AB;(SCD)) = d(A;(SCD)) = 2d(O;(SCD))\).

Trong mặt phẳng (ABCD), dựng \(OM \bot CD = M\). Trong mặt phẳng (SOM), dựng \(OH \bot SM = H\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SM\\OH \bot CD\end{array} \right.\) suy ra \(OH \bot (SCD)\), do đó \(d(O;(SCD)) = OH\).

\(OM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}.2 = 1\); \(OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \frac{1}{2}\sqrt {{2^2} + {2^2}}  = \sqrt 2 \);

\(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \sqrt {{{(2\sqrt 2 )}^2} - {{(\sqrt 2 )}^2}}  = \sqrt 6 \).

Xét tam giác SOM vuông tại O, OH là đường cao: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}}} = \frac{7}{6}\).

Suy ra \(OH = \frac{{\sqrt {42} }}{7} = d(O;(SCD))\).

Vậy \(d(AB;SD) = 2d(O;(SCD)) = \frac{{2\sqrt {42} }}{7} \approx 1,9\).