Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10;3;0) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = (2; - 2;1)\), hướng chuyển động cùng chiều với hướng vectơ \(\overrightarrow u \) với tốc độ là 4,5 (m/s) (đơn vị trên mỗi trục là mét).
a) Phương trình tham số của đường cáp là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
b) Giả sử sau thời gian t (giây) kể từ khi xuất phát \((t \ge 0)\), cabin đến điểm M. Khi đó, tọa độ điểm M là \(\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)\).
c) Cabin dừng ở điểm B có hoành độ \({x_B} = 550\), khi đó quãng đường AB dài 800 m.
d) Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc \({30^o}\).
a) Phương trình tham số của đường cáp là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
b) Giả sử sau thời gian t (giây) kể từ khi xuất phát \((t \ge 0)\), cabin đến điểm M. Khi đó, tọa độ điểm M là \(\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)\).
c) Cabin dừng ở điểm B có hoành độ \({x_B} = 550\), khi đó quãng đường AB dài 800 m.
d) Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc \({30^o}\).
Đường thẳng đi qua điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\), nhận vecto \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) làm vecto chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
a) Đúng. Phương trình tham số của đường cáp là phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(10;3;0) và nhận vecto \(\overrightarrow u = (2; - 2;1)\) làm vecto chỉ phương: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
b) Đúng. M thuộc d nên tọa độ của M là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 10 + 2{t_M}\\{y_M} = 3 - 2{t_M}\\{z_M} = {t_M}\end{array} \right.\). Từ đó ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {10 + 2{t_M} - 10;3 - 2{t_M} - 3;{t_M} - 0} \right) = \left( {2{t_M}; - 2{t_M};{t_M}} \right)\).
Suy ra \(AM = \sqrt {{{(2{t_M})}^2} + {{( - 2{t_M})}^2} + {{({t_M})}^2}} = 3{t_M}\).
Theo giả thiết, cabin đi từ A với vận tốc 4,5 m/s trong t giây thì đến M nên AM = 4,5t (m).
Do đó, \(3{t_M} = 4,5t \Leftrightarrow {t_M} = 1,5t\).
Thay vào tọa độ điểm M, ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 10 + 2.1,5t\\{y_M} = 3 - 2.1,5t\\{z_M} = 1,5t\end{array} \right. \Leftrightarrow M\left( {10 + 3t;3 - 3t;\frac{3}{2}t} \right)\).
c) Sai. Từ câu b), ta tìm được tọa độ \(\left( {10 + 3t;3 - 3t;\frac{3}{2}t} \right)\) là vị trí của cabin sau t giây.
Áp dụng với điểm B, giả sử sau \({t_B}\) giây thì cabin đến vị trí B, khi đó \(B\left( {10 + 3{t_B};3 - 3{t_B};\frac{3}{2}{t_B}} \right)\).
Theo giả thiết, \({x_B} = 550\) nên \(10 + 3{t_B} = 550 \Leftrightarrow {t_B} = 180\).
Quãng đường AB là \(AB = v.{t_B} = 4,5.180 = 810\) (m).
d) Sai. Vecto chỉ phương của đường cáp là \(\overrightarrow u = (2; - 2;1)\), vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là \(\overrightarrow n = (0;0;1)\) nên ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{2.0 - 2.0 + 1.1}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{3}\) với \(\alpha \) là góc giữa đường cáp và mặt phẳng (Oxy).
Suy ra \(\alpha \approx {19^o}\).
Danh sách bình luận