Đề bài

Cho phương trình lượng giác \(\sin 2x =  - \frac{1}{2}\) (*).

a) Phương trình (*) tương đương \(\sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\).

Đúng

Sai

b) Trong khoảng \((0;\pi )\) phương trình (*) có 3 nghiệm.

Đúng

Sai

c) Tổng các nghiệm của phương trình (*) trong khoảng \((0;\pi )\) bằng \(\frac{{3\pi }}{2}\).

Đúng

Sai

d) Trong khoảng \((0;\pi )\) phương trình (*) có nghiệm lớn nhất bằng \(\frac{{7\pi }}{{12}}\).

Đúng

Sai

Đáp án

a) Phương trình (*) tương đương \(\sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\).

Đúng

Sai

b) Trong khoảng \((0;\pi )\) phương trình (*) có 3 nghiệm.

Đúng

Sai

c) Tổng các nghiệm của phương trình (*) trong khoảng \((0;\pi )\) bằng \(\frac{{3\pi }}{2}\).

Đúng

Sai

d) Trong khoảng \((0;\pi )\) phương trình (*) có nghiệm lớn nhất bằng \(\frac{{7\pi }}{{12}}\).

Đúng

Sai

Phương pháp giải

Nếu \(\sin \alpha  = m\) thì \(\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

a) Đúng. Vì \(\sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) =  - \frac{1}{2}\) nên \(\sin 2x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\).

b) Sai. (*) \(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{2x = \pi - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi }\end{array}} \right.}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi }\end{array}} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

* Xét họ nghiệm \(x =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \):

Vì \(0 < x < \pi \) nên \(0 <  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi  < \pi \). Mà k nguyên nên chỉ có k = 1 thỏa mãn.

Khi đó \(x =  - \frac{\pi }{{12}} + \pi  = \frac{{11\pi }}{{12}}\).

* Xét họ nghiệm \(x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \):

Vì \(0 < x < \pi \) nên \(0 < \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi  < \pi \). Mà k nguyên nên chỉ có k = 0 thỏa mãn.

Khi đó \(x = \frac{{7\pi }}{{12}} + 0 = \frac{{7\pi }}{{12}}\).

Vậy trong khoảng \((0;\pi )\) phương trình (*) có 2 nghiệm là \(x = \frac{{11\pi }}{{12}}\) và \(x = \frac{{7\pi }}{{12}}\).

c) Đúng. Tổng các nghiệm của phương trình (*) trong khoảng \((0;\pi )\) là: \(S = \frac{{11\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{{3\pi }}{2}\).

d) Sai. Vì \(\frac{{11\pi }}{{12}} > \frac{{7\pi }}{2}\) nên nghiệm lớn nhất của (*) trong khoảng \((0;\pi )\) là \(\frac{{11\pi }}{{12}}\).