Đề bài

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Gọi \(I\) là giao điểm của hai tiệm cận của \(\left( C \right).\) Xét tam giác đều \(ABI\) có hai đỉnh \(A,\;B\) thuộc \(\left( C \right),\) đoạn thẳng \(AB\) có độ dài bằng:

• A. \(2\sqrt 3 \)
• B. \(2\sqrt 2 \)
• C. \(\sqrt 3 \)
• D. \(\sqrt 6 \)

Phương pháp giải

- Viết phương trình đường thẳng \(AB\)

- Tính khoảng cách \(AB\) và sử dụng tính chất tam giác đều \(d\left( {I,AB} \right) = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(x =  - 1\) là TCĐ của đồ thị hàm số, \(y = 1\) là TCN của đồ thị hàm số.

\( \Rightarrow I\left( { - 1;\;1} \right)\) là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(\Delta IAB\) là tam giác đều

\( \Rightarrow IH\) vừa là đường cao đồng thời là đường phân giác của \(\angle AIB \Rightarrow IH\) cũng là đường phân giác của góc phần tư thứ hai.

\( \Rightarrow IH:\;\;y =  - x.\)

Ta có: \(AB \bot IH \Rightarrow AB:\;\;y = x + m \Leftrightarrow x - y + m = 0.\)

\( \Rightarrow d\left( {I;\;AB} \right) = \dfrac{{\left| { - 1 - 1 + m} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {m - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }}.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}} = x + m \Leftrightarrow {x^2} + mx + m + 2 = 0\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {m^2} - 4\left( {m + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m > 8\)

Khi đó hoành độ các giao điểm \(A,\;B\) là nghiệm của phương trình trên.

Gọi \(A\left( {{x_1};\;{x_1} + m} \right);B\left( {{x_2};\;{x_2} + m} \right)\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - m\\{x_1}{x_2} = m + 2\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow A{B^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {{x_1} + m - {x_2} - m} \right)^2}\) \( = 2{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 8{x_1}{x_2}\) \( = 2{m^2} - 8\left( {m + 2} \right)\)

Do tam giác \(IAB\) đều nên \(d\left( {I,AB} \right) = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2}\) \( \Leftrightarrow {d^2}\left( {I,AB} \right) = \dfrac{{3A{B^2}}}{4}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}{2} = \dfrac{{3\left[ {2{m^2} - 8\left( {m + 2} \right)} \right]}}{4}\) $ \Leftrightarrow {m^2} - 4m = 14$ (thỏa điều kiện \({m^2} - 4m > 8\))

$ \Rightarrow AB = \sqrt {2{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {2{m^2} - 8\left( {m + 2} \right)} $ $ = \sqrt {2\left( {{m^2} - 4m - 8} \right)} $ \( = \sqrt {2.\left( {14 - 8} \right)}  = \sqrt {12}  = 2\sqrt 3 .\) 

Đáp án : A