Đề bài

Cho hàm số $f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx - 2$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}a + b > 1\\3 + 2a + b < 0\end{array} \right.$. Số điểm cực trị của hàm số $y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|$ bằng:

• A. $5$
• B. $9$
• C. $2$
• D. $11$

Phương pháp giải

- Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với \(Ox\), sử dụng kiến thức:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất \(1\) nghiệm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\)

- Vẽ phác dáng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)

- Vẽ dáng đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có được từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)

- Vẽ dáng đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|\) và kết luận số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: $f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx - 2$

$ + )f\left( 0 \right) =  - 2 < 0;$ $f(1) = a + b - 1 > 0$ nên \(f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\)

\( \Rightarrow \) phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất \(1\) nghiệm \({x_1} \in \left( {0;1} \right)\)

\( + )f\left( 2 \right) = 2\left( {3 + 2a + b} \right) < 0\) nên \(f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0\)

\( \Rightarrow \) phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất \(1\) nghiệm \({x_2} \in \left( {1;2} \right)\)

Do đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất hai nghiệm và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) chỉ có thể có dạng:

Khi đó, đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\)(màu tím) và \(y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|\) (màu cam) lần lượt có đồ thị như sau:

Như vậy, hàm số $y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|$ có tất cả $11$ cực trị.

Đáp án : D