Đề bài

Với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}ac\left( {{b^2} - 4ac} \right) > 0\\ab < 0\end{array} \right.\)  thì đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

• A. $4$     
• B. $3$     
• C. $1$     
• D. $2$

Phương pháp giải

+) Tính \(y'\) suy ra số điểm cực trị của hàm số.

+) Xét vị trí các điểm cực trị của đồ thị hàm số so với trục hoành và suy ra số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) và đường thẳng $y = 0.$

Ta có: \(y' = 4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2a{x^2} + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} =  - \dfrac{b}{{2a}}\end{array} \right.\)

Ta có \(ab < 0 \Rightarrow \) a, b trái dấu \( \Rightarrow  - \dfrac{b}{{2a}} > 0 \Rightarrow \) phương trình $y' = 0$  có $3$ nghiệm phân biệt hay đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị.

+ Với \(x = 0 \Rightarrow y = c \Rightarrow A\left( {0;c} \right)\)

+ Với \({x^2} =  - \dfrac{b}{{2a}} \Rightarrow x =  \pm \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} \) \( \Rightarrow y = \dfrac{{ - a\left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}}\)

\( \Rightarrow B\left( { - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;\dfrac{{ - a\left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}}} \right),C\left( {\sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;\dfrac{{ - a\left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}}} \right)\)

Ta có \(ac\left( {{b^2} - 4ac} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ - a\left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}}.c < 0\) \( \Rightarrow {y_B}.{y_A} < 0\)

\( \Rightarrow \) Các điểm cực đại và cực tiểu nằm khác phía so với trục hoành

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) cắt trục hoành tại \(4\) điểm phân biệt.

Đáp án : A