Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC.
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường thẳng FM ở D. Chứng minh tứ giác BDCF là hình bình hành.
c) Chứng minh BE.AC + CF.AB = AB.AC.
a) Chứng minh tứ giác AEHF có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.
b) Chứng minh BD // AC suy ra \(\widehat {CBD} = \widehat {BCF}\).
Chứng minh \(\Delta FMC = \Delta DMB\) (g.c.g) suy ra MF = MD.
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
c) Áp dụng định lí Thalès với HE // AC, HF // AB để suy ra các tỉ lệ bằng nhau.
Biến đổi để được điều phải chứng minh.
a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat A = 90^\circ \)
Vì E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC nên \(HE \bot AB,HF \bot AC\), suy ra \(\widehat {AEH} = \widehat {HFA} = 90^\circ \).
Xét tứ giác AEHF có \(\widehat A = \widehat {AEH} = \widehat {HFA} = 90^\circ \) nên AEHF là hình chữ nhật.
b) Do tam giác ABC vuông ở A nên \(AB \bot AC\). Mà \(BD \bot AB\) nên \(AC//BD\), do đó \(\widehat {FCB} = \widehat {CBD}\) (hai góc so le trong)
Xét \(\Delta FMC\) và \(\Delta DMB\) có:
\(\widehat {FCB} = \widehat {CBD}\) (cmt)
CM = BM (vì M là trung điểm của BC)
\(\widehat {FMC} = \widehat {DMB}\) (hai góc so le trong)
Suy ra \(\Delta FMC = \Delta DMB\left( {g.c.g} \right)\), do đó MF = MD (hai cạnh tương ứng).
Tứ giác BDCF có hai đường chéo BC và DF cắt nhau tại M và BM = MC, MF = MD nên BDCF là hình bình hành.
c) Vì AEHF là hình chữ nhật nên HE // AF, HF // AE nên HE // AC, HF // AB.
Áp dụng định lí Thalès trong tam giác, ta có:
\(\frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{BH}}{{BC}}\); \(\frac{{CF}}{{AC}} = \frac{{CH}}{{BC}}\).
Do đó \(\frac{{BE}}{{AB}} + \frac{{CF}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{BC}} + \frac{{CH}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1\)
Suy ra \(\frac{{BE.AC}}{{AB.AC}} + \frac{{CF.AB}}{{AB.AC}} = \frac{{AB.AC}}{{AB.AC}}\), do đó \(BE.AC + CF.AB = AB.AC\).
Danh sách bình luận