Đề bài

Cho hai số \(x,y\) thỏa mãn điều kiện \({x^2} + 5{y^2} - 4x - 4xy + 6y + 5 = 0\).

Tính giá trị biểu thức \(P = {\left( {x - 3} \right)^{2023}} + {\left( {y - 2} \right)^{2024}} + {\left( {x + y - 5} \right)^{2025}}\).

Phương pháp giải

Tìm \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + 5{y^2} - 4x - 4xy + 6y + 5 = 0\) bằng cách đưa vế trái thành tổng của hai biểu thức bậc hai.

Thay giá trị \(x,y\) tìm được vào P để tính giá trị.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + 5{y^2} - 4x - 4xy + 6y + 5 = 0\\{x^2} - \left( {4x + 4xy} \right) + 5{y^2} + 6y + 5 = 0\\\left[ {{x^2} - 2x\left( {2 + 2y} \right) + \left( {4 + 8y + 4{y^2}} \right)} \right] + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 0\\\left[ {{x^2} - 2x\left( {2 + 2y} \right) + {{\left( {2 + 2y} \right)}^2}} \right] + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\\{\left[ {x - \left( {2 + 2y} \right)} \right]^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {x - 2y - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\end{array}\)

Mà \({\left( {x - 2y - 2} \right)^2} \ge 0;{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x,y\).

Để \({\left( {x - 2y - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\) thì \({\left( {x - 2y - 2} \right)^2} = 0\) và \({\left( {y - 1} \right)^2} = 0\).

+) \({\left( {y - 1} \right)^2} = 0\) khi \(y - 1 = 0\), suy ra \(y = 1\)

+) Thay \(y = 1\) vào \({\left( {x - 2y - 2} \right)^2} = 0\), ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {x - 2.1 - 2} \right)^2} = 0\\{\left( {x - 4} \right)^2} = 0\\x - 4 = 0\\x = 4\end{array}\)

Thay \(x = 4;y = 1\) vào P, ta được:

\(\begin{array}{l}P = {\left( {4 - 3} \right)^{2023}} + {\left( {1 - 2} \right)^{2024}} + {\left( {4 + 1 - 5} \right)^{2025}}\\ = {1^{2023}} + {\left( { - 1} \right)^{2024}} + {0^{2025}}\\ = 1 + 1 + 0\\ = 2\end{array}\)

Vậy P = 2.