Lập phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\), biết rằng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\). Khi đó hãy tìm điểm M thuộc \(\left( P \right)\) và cách tiêu điểm của \(\left( P \right)\) một khoảng bằng 5.
Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\): \({y^2} = 2px\).
+ Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\): \({y^2} = 2px\) đi qua \(A\left( {2;4} \right) \Rightarrow {4^2} = 2.a.2 \Rightarrow p = 4 \Rightarrow {y^2} = 8x\).
+ \(MF = d\left( {M,\Delta } \right) \Rightarrow {x_M} + 2 = 5 \Rightarrow {x_M} = 3 \Rightarrow {y_M}^2 = 24 \Rightarrow {y_M} = \pm 2\sqrt 6 \).
\( \Rightarrow M\left( {3; \pm 2\sqrt 6 } \right)\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn \(\Delta \). Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên \(\Delta \). Chọn hệ trục toạ độ Oxy Có gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF (H7.27).
a) Nêu toạ độ của F và phương trình của \(\Delta \).
b) Giải thích vì sao điềm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi \(\sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}} = \left| {x + \frac{p}{2}} \right|\).
Bài 2 :
Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm \(M\left( {2;4} \right)\).
Bài 3 :
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?
A. \({x^2} = 4y\)
B. \({x^2} = - 6y\)
C. \({y^2} = 4x\)
D. \({y^2} = - 4x\)
Bài 4 :
Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn \(\Delta :x + 1 = 0\).
Bài 5 :
Cho parabol (P) có tiêu điểm F và đường chuẩn \(\Delta \). Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên \(p > 0\).
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và \(\Delta :x + \frac{p}{2} = 0\).
Xét điểm \(M(x;y)\).
a) Tính MF và \(d\left( {M,\Delta } \right)\).
b) Giải thích biểu thức sau:
\(M(x;y) \in (P) \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}} = \left| {x + \frac{p}{2}} \right|\).
Bài 6 :
Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:
a) \({y^2} = 12x\)
b) \({y^2} = x\)
Bài 7 :
Viết phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) Tiêu điểm \((4;0)\)
b) Đường chuẩn có phương trình \(x = - \frac{1}{6}\)
c) Đi qua điểm \((1;4)\)
d) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8
Bài 8 :
Viết phương trình các parabol sau đây dưới dạng chính tắc:
a) \(x = \frac{{{y^2}}}{4}\)
b) \(x-y^2=0\)
Bài 9 :
Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?
a) \({y^2} = - 2x\)
b) \({y^2} = 2x\)
c) \({x^2} = - 2y\)
d) \({y^2} = \sqrt 5 x\)
Bài 10 :
Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của đường parabol trong mỗi trường hợp sau:
a) \({y^2} = \frac{{5x}}{2}\)
b) \({y^2} = 2\sqrt 2 x\)
Bài 11 :
Viết phương trình chính tắc của đường parabol, biết tiêu điểm \(F\left( {6;0} \right)\).
Bài 12 :
Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol (Hình 63). Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là AB = 40 cm và chiều sâu h = 30 cm (h bằng khoảng cách từ O đến AB). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm S. Viết phương trình chính tắc của parabol đó.
Bài 13 :
Cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \({y^2} = 4x\). Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.
Bài 14 :
Viết phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\), biết rằng \(\left( P \right)\) có đường chuẩn là đường thẳng \(\Delta :x + 4 = 0\). Tìm tọa độ điểm M thuộc \(\left( P \right)\) sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm của \(\left( P \right)\) bằng 5.
Bài 15 :
Cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \({y^2} = 16x\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm F của \(\left( P \right)\) và không trùng với trục hoành. Chứng minh rằng \(\Delta \) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt A, B, đồng thời tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi.
Bài 16 :
Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(E\left( {2;2} \right)\) là:
A. \({x^2} = 2y\)
B. \({x^2} = 4y\)
C. \({x^2} = y\)
D. \(y = 2{x^2}\)
Bài 17 :
Phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm \(\left( {2;0} \right)\) là:
A. \({y^2} = 8x\)
B. \({y^2} = 4x\)
C. \({y^2} = 2x\)
D. \(y = 2{x^2}\)
Bài 18 :
Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:
a) \({y^2} = 4x\).
b) \({y^2} = 2x\).
c) \({y^2} = - 6x\).
Bài 19 :
Viết phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn các điều kiện:
a) Tiêu điểm \(\left( {8;0} \right)\).
b) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 4.
Bài 20 :
Gương phản chiếu của một đèn pha có mặt cắt là một parabol (P) với tim bóng đèn đặt ở tiêu điểm F. Chiều rộng giữa hai mép gương là 50 cm, chiều sâu của gương là 40 cm. Viết phương trình chính tắc của (P).
Bài 21 :
Parabol trong hệ trục tọa độ Oxy nào dưới đây có phương trình chính tắc dạng:
\({y^2} = 2px\) (p > 0)?
Bài 22 :
Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết:
a) Phương trình đường chuẩn của (P) là \(x + \frac{1}{8} = 0\).
b) (P) đi qua điểm M(1 ; -8).
Bài 23 :
Cho parabol (P) có phương trình chính tắc: y2 = 2px (p > 0) và đường thẳng x = m (m > 0) cắt (P) tại hai điểm I, K phân biệt. Chứng minh hai điểm I và K đối xứng nhau qua trục Ox.
Bài 24 :
Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường parabol?
A. \({y^2} = \frac{x}{{10}}\)
B. \({y^2} = \frac{{ - x}}{{10}}\)
C. \({x^2} = \frac{y}{{10}}\)
D. \({x^2} = \frac{{ - y}}{{10}}\)
