Đề bài

Hai vận động viên thi chạy Marathon xuất phát tại điểm \(A\) cùng một thời điểm, chạy theo hai hướng khác nhau đến \(B\) và \(C\). Sau \(t\) phút hai người đó gặp nhau tại \(D\) (được mô tả như hình vẽ). Cho độ dài \(AB = 3\,km\); \(AC = 3,5\,km\); \(BC = 5\,km\) và \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).  Hỏi trong \(t\) phút đầu tiên vận động viên nào chạy nhanh hơn?

• A. Vận động viên chạy từ \(A\) qua \(B\) trước rồi đến \(D\) chạy nhanh hơn vận động viên chạy từ \(A\) qua \(C\) trước rồi đến \(D\).
• B. Vận động viên chạy từ \(A\) qua \(C\) trước rồi đến \(D\) chạy nhanh hơn vận động viên chạy từ \(A\) qua \(B\) trước rồi đến \(D\).
• C. Hai vận động viên chạy với cùng một tốc độ trung bình.
• D. Không thể kết luận vận động viên nào chạy nhanh hơn.

Phương pháp giải

Chứng minh \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\), suy ra \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau tính độ dài cạnh \(DB;\, DC\)

Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì \(\frac{{a + c}}{{b + d}}\)

Tính quãng đường vận động viên chạy từ \(A\) qua \(B\) trước rồi đến \(D\)

Tính quãng đường vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D.

So sánh độ dài hai quãng đường vừa tính.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\) nên \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\).

Áp dụng tính chất đường phân giác trong \(\Delta BAC\) có: \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Suy ra \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB + DC}}{{AB + AC}} = \frac{{BC}}{{AB + AC}} = \frac{5}{{3 + 3,5}} = \frac{{10}}{{13}}\)

Suy ra \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{10}}{{13}}\) hay \(\frac{{DB}}{3} = \frac{{10}}{{13}} \Rightarrow DB = \frac{{10.3}}{{13}} = \frac{{30}}{{13}} \approx 2,31\,\left( {km} \right)\)

Và \(\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{10}}{{13}}\) hay \(\frac{{DC}}{{3,5}} = \frac{{10}}{{13}} \Rightarrow DC = \frac{{10.3,5}}{{13}} = \frac{{35}}{{13}} \approx 2,69\,\left( {km} \right)\)

Quãng đường vận động viên chạy từ \(A\) qua \(B\) trước rồi đến \(D\) là:

\(AB + DB \approx 3 + 2,31 = 5,31\,\left( {km} \right)\)

Quãng đường vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D là:

\(AC + DC \approx 3,5 + 2,69 = 6,19\,\left( {km} \right)\)

Biết hai vận động viên xuất phát cùng một thời điểm và sau \(t\) phút thì hai vận động viên gặp nhau tại \(D\) nên thời gian chạy của hai vận động viên là như nhau. Mà quãng đường vận động viên chạy từ \(A\) qua \(B\) trước rồi đến \(D\) nhỏ hơn quãng đường vận động viên chạy từ \(A\) qua \(C\) trước rồi đến \(D\) (do \(5,31\,km < 6,19\,km\)).

Do đó, trong \(t\) phút đầu vận động viên chạy từ \(A\) qua \(C\) trước rồi đến \(D\) sẽ chạy nhanh hơn vận động viên chạy từ \(A\) qua \(B\) trước rồi đến \(D\).

Đáp án : B