Nhà bạn Bảo ở vị trí \(M\), nhà bạn Lan ở vị trí \(D\) (như hình bên dưới), biết rằng tứ giác \(ABCD\) là hình thoi và \(AB = 3AM\). Hai bạn đi bộ với cùng một vận tốc trên con đường \(MD\) để đi đến điểm \(I\). Bạn Lan xuất phát lúc 7 giờ. Hỏi bạn Bảo phải xuất phát lúc mấy giờ để gặp bạn Lan lúc 7 giờ 30 phút tại điểm \(I\)?
Nhà bạn Bảo ở vị trí \(M\), nhà bạn Lan ở vị trí \(D\) (như hình bên dưới), biết rằng tứ giác \(ABCD\) là hình thoi và \(AB = 3AM\). Hai bạn đi bộ với cùng một vận tốc trên con đường \(MD\) để đi đến điểm \(I\). Bạn Lan xuất phát lúc 7 giờ. Hỏi bạn Bảo phải xuất phát lúc mấy giờ để gặp bạn Lan lúc 7 giờ 30 phút tại điểm \(I\)?
-
A.
7 giờ;
-
B.
7 giờ 15 phút;
-
C.
7 giờ 20 phút;
-
D.
7 giờ 30 phút.
Trong hình thoi có các cạnh bên bằng nhau và hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
Tính tỉ lệ \(\frac{{AM}}{{AD}}\)
Áp dụng tính chất đường phân giác trong \(\Delta MAD\) ta có: \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{IM}}{{ID}}\)
Lại có \(S = vt\), mà vận tốc hai bạn đi là như nhau nên quãng đường tỉ lệ thuận với thời gian.
Theo đề bài, \(ABCD\) là hình thoi nên \(AB = AD\) và \(AC\) là tia phân giác của \(\widehat {BAD}\).
Ta có: \(AB = 3AM\) hay \(AD = 3AM\) (do \(AB = AD\)).
Suy ra \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{1}{3}\).
Xét \(\Delta MAD\) có: \(AI\) là tia phân giác của \(\widehat {MAD}\) (do \(AC\) là tia phân giác của \(\widehat {BAD}\)),
Áp dụng tính chất đường phân giác trong \(\Delta MAD\) ta có:
\(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{IM}}{{ID}} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{IM}}{{ID}}\)
Theo đề bài, \(I\) là địa điểm gặp nhau nên bạn Bảo đi theo quãng đường \(MI\), bạn Lan đi theo quãng đường \(DI\).
Ta có: \(S = vt\), mà quãng đường bạn Bảo đi bằng \(\frac{1}{3}\) lần quãng đường bạn Lan đi và vận tốc đi bộ của hai bạn đều bằng nhau nên thời gian bạn Bảo đi bằng \(\frac{1}{3}\) lần thời gian bạn Lan đi thì hai bạn mới gặp nhau tại địa điểm \(I\).
Bạn Bảo gặp bạn Lan lúc 7 giờ 30 phút nên thời gian bạn Lan đi hết quãng đường \(MI\) là:
7 giờ 30 phút – 7 giờ = 30 phút.
Khi đó, thời gian bạn Bảo đi là \(\frac{1}{3}.30 = 10\) (phút).
Do đó, bạn Bảo phải xuất phát từ lúc: 7 giờ 30 phút – 10 phút = 7 giờ 20 phút.
Vậy bạn Bảo phải xuất phát lúc 7 giờ 20 phút để gặp bạn Lan lúc 7 giờ 30 phút tại điểm \(I\).
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Hãy chọn câu đúng. Tỉ số \(\dfrac{x}{y}\) của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình cùng đơn vị đo là $cm$ .
-
A.
\(\dfrac{7}{{15}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{7}\)
-
C.
\(\dfrac{{15}}{7}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{15}}\)
Bài 2 :
Cho tam giác $ABC$ , $AC = 2AB$ , $AD$ là đường phân giác của tam giác $ABC$ , khi đó \(\dfrac{{BD}}{{CD}} = ?\)
-
A.
\(\dfrac{{BD}}{{CD}} = 1\)
-
B.
\(\dfrac{{BD}}{{CD}} = \dfrac{1}{3}\)
-
C.
\(\dfrac{{BD}}{{CD}} = \dfrac{1}{4}\)
-
D.
\(\dfrac{{BD}}{{CD}} = \dfrac{1}{2}\)
Bài 3 :
Cho hình vẽ, biết các số trên hình cùng đơn vị đo. Tỉ số \(\dfrac{x}{y}\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{3}{4}\)
-
B.
\(\dfrac{2}{3}\)
-
C.
\(\dfrac{4}{3}\)
-
D.
Chưa đủ dữ kiện kết luận
Bài 4 :
Cho tam giác \(ABC\), \(AC = 2AB\), \(AD\) là đường phân giác của tam giác\(ABC\). Xét các khẳng định sau, số khẳng định đúng là:
(I) \(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{1}{2}\) (II) \(\dfrac{{DC}}{{BC}} = \dfrac{2}{3}\) (III) \(\dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}\)
-
A.
\(0\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(2\)
Bài 5 :
Cho tam giác ABC có \(AB < AC,\) AD là đường phân giác. Khi đó:
-
A.
\(BD < DC\)
-
B.
\(BD > DC\)
-
C.
\(BD = DC\)
-
D.
Không so sánh được
Bài 6 :
Cho tia phân giác At của góc xAy (H.4.20). Nếu lấy điểm B trên tia Ax, điểm C trên tia Ay, ta được tam giác ABC. Giả sử tia phân giác At cắt BC tại điểm D.
Khi lấy B và C sao cho AB = AC (H.4.20a), hãy so sánh tỉ số \(\dfrac{{DB}}{{DC}}\) và \(\dfrac{{AB}}{{AC}}\)
Bài 7 :
Cho tia phân giác At của góc xAy (H.4.20). Nếu lấy điểm B trên tia Ax, điểm C trên tia Ay, ta được tam giác ABC. Giả sử tia phân giác At cắt BC tại điểm D
Khi lấy B và C sao cho AB = 2 cm và AC = 4 cm (H.4.20b), hãy dùng thước có vạch chia đến milimét để đo độ dài các đoạn thẳng DB, DC rồi so sánh hai tỉ số \(\dfrac{{DB}}{{DC}}\) và \(\dfrac{{AB}}{{AC}}\)
Bài 8 :
Tính độ dài x trên Hình 4.23
Bài 9 :
Trong H.4.19, AD là đường phân giác của tam giác ABC. Hai tỉ số \(\dfrac{{DB}}{{DC}}\) và \(\dfrac{{AB}}{{AC}}\) có bằng nhau không?
Bài 10 :
Tính độ dài x trên Hình 4.24.
Bài 11 :
Cho tam giác ABC. Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại D. Tính độ dài đoạn thẳng DC biết AB = 4,5 m; AC = 7,0 m và CB = 3,5 m (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Bài 12 :
Cho tam giác ABC cân tại A có AB = 15 cm, BC = 10 cm, đường phân giác trong của góc B cắt AC tại D. Khi đó, đoạn thẳng AD có độ dài là
A. 3 cm.
B. 6 cm.
C. 9 cm.
D. 12 cm.
Bài 13 :
Tính độ dài x trong Hình 5.12
Bài 14 :
Cho tam giác ABC, trung tuyến AI. Tia phân giác của góc AIB và tia phân giác góc AIC cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh MN//BC.
Bài 15 :
Cho \(\Delta ABC\) có AD, BE, CF lần lượt là đường phân giác của góc A, góc B, góc C \(\left( {D \in BC,E \in AC,F \in AB} \right)\). Chứng minh rằng \(\frac{{AE}}{{EC}}.\frac{{CD}}{{DB}}.\frac{{BF}}{{FA}} = 1\).
Bài 16 :
Cho tam giác ABC, phân giác AD \(\left( {D \in BC} \right)\). Kẻ DE//AB\(\left( {E \in AC} \right)\). Chứng minh rằng \(AB.EC = AC.EA\)
Bài 17 :
Cho \(\Delta ABC\). Tia phân giác góc trong của góc A cắt BC tại D. Cho \(AB = 6,AC = x,BD = 9,BC = 21\). Độ dài x bằng
A. 4
B. 6
C. 12
D. 14
Bài 18 :
Cho tam giác ABC có AD là tia phân giác của góc BAC. Biết \(AB = 3cm,BD = 4cm,CD = 6cm\). Độ dài AC bằng
A. 4cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 4,5cm
Bài 19 :
Cho hình thoi ABCD có M là trung điểm của AD, đường chéo AC cắt BM tại điểm E (H.5.16)
Tỉ số \(\frac{{EM}}{{EB}}\) bằng
A. \(\frac{1}{3}\)
B. 2
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{2}{3}\)
Bài 20 :
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE \(\left( {D \in AC,E \in AB} \right)\). Chứng minh DE//BC
Bài 21 :
Quan sát Hình 4.17 và chọn khẳng định đúng.
A. \(\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{BA}}{{AC}}.\)
B. \(\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{BC}}{{BA}}.\)
C. \(\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{BA}}{{BC}}.\)
D. \(\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{AC}}{{AB}}.\)
Bài 22 :
Quan sát Hình 4.18, biết BI là phân giác của góc B, AB = 12 cm, BC = 15 cm, AC = 9 cm. Độ dài đoạn IA là:
A. 5 cm.
B. 4 cm.
C. 6 cm.
D. 3 cm.
Bài 23 :
Quan sát Hình 4.19. Tỉ số \(\frac{x}{y}\) bằng
A. \(\frac{1}{7}\).
B. \(\frac{{15}}{7}\)
C. \(\frac{7}{{15}}\)
D. \(\frac{2}{{15}}\)
Bài 24 :
Quan sát Hình 4.20. Độ dài x, y lần lượt là:
A. x = 16 cm; y = 12 cm.
B. x = 14 cm; y = 14 cm.
C. x = 14,3 cm; y = 10,7 cm.
D. x = 12 cm; y = 16 cm.
Bài 25 :
Tìm độ dài x trong Hình 4.21.
Bài 26 :
Cho tam giác ABC. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính độ dài đoạn thẳng DC biết AB = 4,5 m; AC = 7,0 m và CB = 3,5 m (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Bài 27 :
Cho tam giác ABC, phân giác AD (D ∈ BC). Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E. Chứng minh rằng \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EA}}.\)
Bài 28 :
Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC.
b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD.
Bài 29 :
Tính độ dài cạnh \(MQ\) của tam giác \(MPQ\) trong Hình 6.
Bài 30 :
Tính độ dài \(x\) trong Hình 7.
