Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có chu vi là \(18\,cm\), các đường phân giác \(BD,\, CE\). Tính các cạnh của tam giác \(ABC\) biết \(\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{1}{2};\,\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{3}{4}\).

• A. \(AB = 8\,cm,\, BC = 4\,cm,\, AC = 6\, cm\);
• B. \(AB = 4\,cm,\, BC = 8\,cm,\, AC = 6\, cm\);
• C. \(AB = 4\,cm,\, BC = 6\,cm,\, AC = 8\, cm\);
• D. \(AB = 8\,cm,\, BC = 6\,cm,\, AC = 4\, cm\).

Phương pháp giải

Do \(BD\) là đường phân giác của góc \(B\) nên \(BC = 2AB\)

Do \(CE\) là đường phân giác của góc \(C\) nên \(AC = \frac{3}{4}BC\)

Lại có chu vi hình tam giác bằng \(18\, cm\) nên tổng độ dài 3 cạnh bằng \(18\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Tam giác \(ABC\) có:

+ \(BD\) là đường phân giác của góc \(B\).

Do đó \(\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\) hay \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{1}{2}\).

Suy ra \(BC = 2AB\).

+ \(CE\) là đường phân giác của góc \(C\).

Do đó \(\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AC}}{{BC}}\) hay \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{3}{4}\)

Suy ra \(AC = \frac{3}{4}BC\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(AC = \frac{3}{2}AB\).

Chu vi tam giác \(ABC\) bằng:

\(AB + AC + BC = AB + \frac{3}{2}AB + 2AB = \frac{9}{2}AB = 18\).

Suy ra \(AB = 4\,\left( {cm} \right)\)

Vậy \(BC = 2.4 = 8\,\left( {cm} \right),\,AC = \frac{3}{2}.4 = 6\,\left( {cm} \right)\).

Đáp án : B