Đề bài

Một cái thùng đựng nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng hai lần bán kính mặt đáy của thùng. Bên trong thùng có một cái phễu dạng hình nón có đáy là đáy của thùng, có đỉnh là tâm của miệng thùng (xem hình minh họa). Biết rằng đổ 12 lít nước vào thùng thì đầy thùng (nước không chảy được vào bên trong phễu), tính thể tích của phễu.

 

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính thể tích hình nón.

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đường sinh AB cắt trục OO' tại \(C\).

Khi đó hai hình nón có đỉnh O,C có chung đáy là hình tròn \(\left( {O'} \right)\) có thể tích bằng nhau.

Gọi \({V_1}\) là thể tích hình nón đỉnh \(C\), đáy là hình tròn \(\left( {O'} \right);{V_2}\) là thể tích hình nón đỉnh \(O\), đáy là hình tròn \(\left( {O'} \right);V\) là thể tích hình nón đỉnh \(C\), đáy là hình tròn \(\left( O \right)\); \({V_n} = 12\) là thể tích nước đổ vào.

Ta có \(\frac{{{V_1}}}{V} = \frac{{\frac{1}{3} \cdot CO' \cdot \pi {\rm{ \;}} \cdot O'{B^2}}}{{\frac{1}{3} \cdot CO \cdot \pi {\rm{ \;}} \cdot O{A^2}}} = \frac{{CO'}}{{CO}} \cdot {\left( {\frac{{O'B}}{{OA}}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{8}\).

Suy ra \({V_1} = {V_2} = \frac{1}{8}\;V{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (1)\)

Do đó thể tích nước đổ vào \({V_n} = \frac{6}{8}V\) (2) (vì \({V_1} + {V_2} + {V_n} = V\) ).

Từ (1) và (2) suy ra \({V_1} = {V_2} = \frac{1}{6}{V_n} = \frac{1}{6} \cdot 12 = 2\) lít.

Vậy thể tích của phễu là 2 lít.