Cho tam giác ABC nhọn \((AB < AC)\) có đường cao AD và đường phân giác trong AO(D,O thuộc cạnh BC). Kẻ OM vuông góc với AB tại M, ON vuông góc với AC tại N.
a) Chứng minh bốn điểm D,M,N,O cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh \(OM = ON\) và \(\angle BDM = \angle ODN\).
c) Qua \(O\), kẻ đường thắng vuông góc với BC cắt MN tại I,AI cắt BC tại \(K\). Chứng minh \(K\) là trung điểm của BC.
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Ta có $\angle {AMO} = \angle {ANO} = 90^\circ$ (giả thiết); $\angle {ADO} = 90^\circ$ (giả thiết)
Tam giác AMO vuông tại \(M\) nên tam giác AMO nội tiếp đường tròn đường kính AO có tâm là trung điểm của cạnh huyền AO.
Tương tự, hai tam giác ADO và ANO nội tiếp đường tròn đường kính AO.
Suy ra bốn điểm D,M,N,O cùng nằm trên đường tròn đường kính AO.
b) Xét \(\Delta OAM\) và \(\Delta OAN\) có:
AO chung
$\angle {AMO} = \angle {ANO} = 90^\circ$
$\angle {MAO} = \angle {NAO}$ (AO là phân giác)
Suy ra $\Delta OAM = \Delta OAN$ (cạnh huyền – góc nhọn)
Khi đó $OM = ON$ (hai cạnh tương ứng)
Do tứ giác MDON nội tiếp nên $\angle {ODN} = \angle {OMN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ON) và $\angle {BDM} = \angle {ONM}$ (cùng bù với góc MDO).
Mà $\angle {ONM} = \angle {OMN}$ (do tam giác OMN cân tại $O$ ). Suy ra $\angle {ODN} = \angle {BDM}$ (đpcm)
c) Qua $I$, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB,AC lần lượt tại P,Q.
Vì $\Delta OAM = \Delta OAN$ nên $\angle AOM = \angle AON$, do đó cung AM = cung AN (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau)
suy ra \(\angle {INA} = \angle {IMP}\) (hai góc chắn hai cung bằng nhau).
Ta có: $\angle {IOP} = \angle {IMP} = \angle {INA}$ (hai góc cùng chắn cung IP,
$\angle {INA} = \angle {IOQ}$ (cùng bù với \(\angle INQ\)).
Suy ra $\angle {IOP} = \angle {IOQ}$.
Mà OI vuông góc PQ nên OI là trung tuyến của tam giác OPQ.
Ta có $PQ//BC$ nên $\dfrac{{IP}}{{KB}} = \dfrac{{AI}}{{AK}} = \dfrac{{IQ}}{{KC}}$.
Mà $IP = IQ$, suy ra $KB = KC$.
Vậy $K$ là trung điểm của BC
Danh sách bình luận