Cho tứ giác \(ABCD\) có \(AB = 2a\), \(CD = 2b\). Gọi \(E,\, F\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\, BC\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\(EF \ge a - b\);
-
B.
\(EF \le a - b\);
-
C.
\(EF \ge a + b\);
-
D.
\(EF \le a + b\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\)
Chứng minh \(EI\) là đường trung bình của tam giác \(ADC\).
Chứng minh \(FI\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
Xét tam giác \(EFI\) áp dụng bất đẳng thức tam giác có: \(EF \le EI + FI\)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\).
Trong tam giác \(ADC\) có \(E\) là trung điểm \(AD\), \(I\) là trung điểm của \(AC\).
Do đó \(EI\) là đường trung bình của tam giác \(ADC\).
Suy ra \(EI = \frac{1}{2}CD\) hay \(EI = \frac{1}{2}.2b = b\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Trong tam giác \(ABC\) có \(F\) là trung điểm \(BC\), \(I\) là trung điểm của \(AC\).
Do đó \(FI\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
Suy ra \(FI = \frac{1}{2}AB\) hay \(FI = \frac{1}{2}.2a = a\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Trong tam giác \(EFI\) có: \(EF \le EI + FI\) (bất đẳng thức tam giác) hay \(EF \le a + b\).
Đáp án : D
Danh sách bình luận