Đề bài

Cho tam giác \(MNP\), trên \(MN\) lấy hai điểm \(D,\, E\) sao cho \(MD = DE = EN\). Gọi \(I\) là trung điểm \(NP;\, PD\) cắt \(MI\) tại \(H\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

• A. \(HD = 4PD\);
• B. \(HD = \frac{1}{4}PD\)
• C. \(HD = \frac{1}{3}PD\);
• D. \(HD = 2PD\)

Phương pháp giải

Chứng minh \(EI\) là đường trung bình của tam giác \(NDP\)

Chứng minh \(HD\) là đường trung bình của tam giác \(MEI\)

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Trong tam giác \(NDP\) có \(I\) là trung điểm \(NP\), \(E\) là trung điểm \(DN\) (\(DE = EN\)).

Do đó \(EI\) là đường trung bình của tam giác \(NDP\).

Suy ra \(EI\parallel PD\) và \(EI = \frac{1}{2}PD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1).

Trong tam giác \(MEI\) có \(D\) là trung điểm \(ME\) (\(MD = DE\)), \(DH\parallel EI\) (\(H \in DP\)).

Suy ra \(H\) là trung điểm của \(MI\).

Nên \(HD\) là đường trung bình của tam giác \(MEI\).

Suy ra \(HD = \frac{1}{2}EI\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(HD = \frac{1}{2}EI = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}PD = \frac{1}{4}BD\)

Đáp án : B