Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) trên nửa mặt phẳng bờ \(AC\) không chứa điểm \(B\) lấy điểm \(D\) bất kì. Gọi \(E,\, F,\, G,\, H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\, BC,\, AD,\, DC\). Khi đó \(EF + FH + HG + GE\) bằng

• A. \(AB + AD\);
• B. \(BC + AD\);
• C. \(AC + BD\);
• D. \(BD + DC\).

Phương pháp giải

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Chứng minh:

+) \(EG\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\).

+) \(FH\) là đường trung bình của tam giác \(CBD\).

+) \(HG\) là đường trung bình của tam giác \(ADC\).

+) \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Trong tam giác \(ABD\) có \(E\) là trung điểm của \(AB\), \(G\) là trung điểm của \(AD\)

Do đó \(EG\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\).

Suy ra \(EG = \frac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong tam giác \(CBD\) có \(F\) là trung điểm của \(BC\), \(H\) là trung điểm của \(CD\)

Do đó \(FH\) là đường trung bình của tam giác \(CBD\).

Suy ra \(FH = \frac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong tam giác \(ADC\) có \(H\) là trung điểm của \(DC\), \(G\) là trung điểm của \(AD\)

Do đó \(HG\) là đường trung bình của tam giác \(ADC\).

Suy ra \(HG = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong tam giác \(ABC\) có \(E\) là trung điểm của \(AB\), \(F\) là trung điểm của \(BC\)

Do đó \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Suy ra \(EF = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Ta có \(EF + FH + HG + GE = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BD + \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BD = AC + BD\)

Đáp án : C