Đề bài

 Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy điểm \(C\) sao cho \(AC > BC\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(C\) trên AB

a. Chứng minh rằng \(\angle ACO = \angle BCH\)

b. Chứng minh rằng: \(AB.AC = AC.AH + BC.CH\)

 

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học chứng minh.

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

 

Ta có: $\Delta ACO$ cân tại $O$ (do $OA = OC$)

$\Rightarrow \angle OAC = \angle OCA\,\,\left( 1 \right)$

Vì $C$ thuộc đường tròn đường kính AB nên $\angle ACB = 90^\circ$

Suy ra $\angle ACH + \angle BCH = 90^\circ \,\,\left( 2 \right)$

Lại có: $\angle ACH + \angle CAH = 90^\circ \,\,\left( 3 \right)$ (do $\Delta ACH$ vuông tại $H$)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\angle ACO = \angle BCH\) 

Vậy \(\angle ACO = \angle BCH\)

b) Xét $\Delta ACH$ và $\Delta CBH$ có:

$\begin{array}{l}\angle ACO = \angle BCH\\\angle AHC = \angle BHC = 90^\circ \end{array}$

Suy ra $\Delta ACH\backsim \Delta CBH\left( g.g \right)$ 

Khi đó \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{CH}}{{BH}}\) hay \(AC.BH = BC.CH\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{AC\left( {AB - AH} \right) = BC.CH}\\{AC.AB - AC.AH = BC.CH}\\{AB.AC = AC.AH + BC.CH}\end{array}\)

Vậy \(AB.AC = AC.AH + BC.CH\)