Đề bài

Cho phương trình \(2{x^2} - 5x + 1 = 0\)
a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = {x_1}({x_1} + 2024) + {x_2}\left( {{x_2} + 2025} \right) - {x_2}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình \(2{x^2} - 5x + 1 = 0\) có \(a = 2;b = {\rm{ \;}} - 5;c = 1\) nên ta có:

\(\Delta {\rm{ \;}} = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.1 = 25 - 8 = 17 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = {x_1}({x_1} + 2024) + {x_2}\left( {{x_2} + 2025} \right) - {x_2}\)

Áp dụng định lí Viète, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{5}{2}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(A = {x_1}({x_1} + 2024) + {x_2}\left( {{x_2} + 2025} \right) - {x_2}\)

\(A = {x_1}^2 + 2024{x_1} + {x_2}^2 + 2025{x_2} - {x_2}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{A = \left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) - 2{x_1}{x_2} + \left( {2024{x_1} + 2024{x_2}} \right)}\\{A = {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} + 2024\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}\\{A = {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} - 2.\frac{1}{2} + 2024.\frac{5}{2}}\\{A = \frac{{20261}}{4}}\end{array}\)

Vậy \(A = \frac{{20261}}{4}\).

Xem thêm : Đề thi vào 10 môn Toán

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Tìm \(b,\,\,c\) để phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2;\,\,{x_2} = 3.\)

A.
\(b = 1\,\,;\,\,c = - 6\)
B.
\(b = - 1\,\,;\,\,c = 6\)
C.
\(b = 1\,\,;\,\,c = 6\)
D.
\(b = - 1\,\,;\,\,c = - 6\)

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Giải các phương trình:

a) \({x^2} - 12x = 0\)

b) \(13{x^2} + 25x - 38 = 0\)

c) \(3{x^2} - 4\sqrt 3 x + 4 = 0\)

d) \(x(x + 3) = 27 - (11 - 3x)\)

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Cho phương trình \(2{x^2} - 3x - 6 = 0\).

a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}.\)

b) Tính \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\). Chứng minh cả 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) đều khác 0.

c) Tính \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}\)

d) Tính \({x_1}^2 + {x_2}^2\)

e) Tính \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right|.\)

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Bác Đạt muốn thiết kế cửa sổ có dạng hình chữ nhật với diện tích bằng 2,52 m² và chu vi bằng 6,4m. Tìm kích thước của cửa sổ đó.

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 6m - 4 = 0{\rm{ (1)}}\) (với m là tham số)

a) Với \(m = 0\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

b) Với \(m = 2\) thì phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\) thoả mãn \({x_1}{\rm{ + }}{x_2} = 6;{\rm{ }}{x_1}{x_2} = 8\) .

c) Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

d) Để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {2m - 2} \right){x_1} + {x_2}^2 - 4{x_2} = 4{\rm{ (2)}}\) thì \(m \in \left\{ { - 2;{\rm{ }}\frac{1}{2}} \right\}\).

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 4m = 0{\rm{ }}(1)\) (với \(m\)là tham số)

a) Khi \(m = 1\) thì phương trình có 2 nghiệm \({x_1} = - 1;{\rm{ }}{x_2} = 3\)

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\) thoả mãn \({x_1}{\rm{ + }}{x_2} = 2\left( {m - 2} \right);{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {m^2} - 4m\)

c) Giá trị của của biểu thức \({{\rm{x}}_1}^2 + {{\rm{x}}_2}^2 = 2{m^2} - 8m + 16\).

d) Phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{3}{{{x_1}}} + {x_2} = \frac{3}{{{x_2}}} + {x_1}\) khi \(m = 3\)

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {3 - 2m} \right)x - {m^2}\) (\(m\) là tham số).

a) Hoành độ giao điểm của đường thẳng \((d)\) và parabol \((P)\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - (3 - 2m)x + {m^2} = 0\,\,(1)\).

b) Khi \(m = 0\) phương trình (1) có hai nghiệm là \({x_1} = 0;{\rm{ }}{x_2} = - 3\).

c) Khi \(m = 0\) đường thẳng \((d)\) và parabol \((P)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có toạ độ là \(\left( {0;0} \right);\,\,\left( {3;9} \right)\).

d) Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + \left( {3 - 2m} \right){x_2} - 24 = 0\) thì \(m \in \left\{ { - 1;5} \right\}\).

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Cho phương trình \(2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 3 = 0\)

a) Chứng minh phương trình đó luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là 2 nghiệm của phương trình đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 3{x_1}{x_2}\).

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Cho phương trình \({x^2} + 4x - 1 = 0\)

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + \frac{5}{2}\).

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Cho phương trình \({x^2} + 4x + m = 0\).

a) Giải phương trình với \(m = 1\).

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Cho phương trình \(4{x^2} + 4x - 3 = 0\)

a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tính giá trị biểu thức \(A = {x_1}\left( {4 + \frac{1}{3}{x_2}} \right) + 4{x_2}\).

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Cho phương trình \({x^2} + 5x - 8 = 0\)

a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 2}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 2}}\).

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Cho phương trình \({x^2} - 4x - 6 = 0\).

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_1}}} + \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_2}}}\).

Xem lời giải >>

Bài 14 :

a) Tìm \(a\) để đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\) đi qua điểm \(M\left( {\sqrt 2 \,;{\rm{ }}2} \right).\)

b) Cho phương trình \({x^2} - 7x + 12 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(M = \left( {1 - 25{x_1}} \right){x_1} - {x_2}\left( {25{x_2} - {x_1} - 1} \right)\).

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Cho phương trình \({\left( {2x} \right)^2} - x\left( {x + 4} \right) = - 1\)

a) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Hãy tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 - \frac{4}{3}{x_1} - x_2^2 + \frac{4}{3}{x_2} + {\left( {3{x_1}.{x_2}} \right)^2}\).

Xem lời giải >>

Bài 16 :

a) Tìm các điểm M thuộc (P): \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) có tung độ gấp 2 lần hoành độ và khác 0.

b) Cho phương trình \({x^2} - x - 10 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính \(x_1^3 + x_2^3\).

Xem lời giải >>

Bài 17 :

a) Tìm bằng phép tính tọa độ các điểm M thuộc (P): \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) có tung độ là 8.

b) Cho phương trình \({x^2} - 2x - 8 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \left( {{x_1} + 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} + 2{x_1}} \right)\)

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Cho phương trình \(3{x^2} - 5x - 4 = 0\)

a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Hãy tính giá trị của biểu thức \(P = {x_1}\left( {{x_1} - 12} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 12} \right)\).

Xem lời giải >>

Bài 19 :

a) Biết đồ thị của hàm số \(y = \left( {1 + 3a} \right){x^2}\) đi qua điểm \(M\left( { - 2;28} \right)\). Tìm a.

b) Cho phương trình \({x^2} + 2x - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức \(A = {x_1}\left( {x_2^2 - 2} \right) - {x_1} - {x_2}\).

Xem lời giải >>

Bài 20 :

a) Tìm các điểm thuộc \(\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2}\) có hoành độ và tung độ là hai số đối nhau và khác (0;0)

b) Cho phương trình \(3{x^2} + 2x - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức \(M = \left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + x_2^2\).

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Cho phương trình \({x^2} - 4x - 6 = 0\).

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(\frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_1}}} + \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_2}}}\).

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Cho phương trình bậc hai \(\sqrt 3 {x^2} - 2x - \sqrt 3 = 0\)

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: \(C = 2\sqrt 3 {x_1} - x_1^2 - x_2^2 - \sqrt 3 ({x_1} - {x_2})\).

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Cho phương trình bậc hai \({x^2} + 6x - 3 = 0\)

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: \(A = \frac{{5{x_1} - {x_2}}}{{{x_1}}} - \frac{{{x_1} - 3{x_2}}}{{{x_2}}}\).

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Phương trình \({x^2} - 2x - m + 1 = 0\) (m là tham số) có một nghiệm là \(x = 1 + \sqrt 7 \). Tính giá trị của biểu thức \(A = {x_1}^2{x_2} + {x_2}^2{x_1}\).

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Cho phương trình bậc hai \( - {x^2} + 7x + 5 = 0\).

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: \(A = {x_1}\left( {3{x_1} - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {3{x_2} - {x_1}} \right)\).

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Tìm m để phương trình \({x^2} + mx - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) cùng nhỏ hơn 1.

Xem lời giải >>