Đề bài

Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{3}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 2}} + \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}}{{4 - x}}\) với \(x > 0,x \ne 4\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}}{{x - 4}}\).

3) Xét biểu thức \(P = AB\). Chứng minh \(P < {P^2}\).

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

1) Thay \(x = 9\) (TMĐK) vào biểu thức A, ta được:

\(A = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x }} = \frac{{9 - 4}}{{\sqrt 9 }} = \frac{5}{3}\)

Vậy \(A = \frac{5}{3}\) khi \(x = 9\)

2) ĐKXĐ: \(x > 0,x \ne 4\)

\(B = \frac{3}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 2}} + \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}}{{4 - x}}\)

\(B = \frac{3}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 2}} - \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}}{{x - 4}}\)

\(B = \frac{{3(\sqrt x {\rm{ \;}} + 2)}}{{(\sqrt x {\rm{ \;}} - 2)(\sqrt x {\rm{ \;}} + 2)}} - \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}}{{(\sqrt x {\rm{ \;}} - 2)(\sqrt x {\rm{ \;}} + 2)}}\)

\(B = \frac{{3\sqrt x {\rm{ \;}} + 6 - 2\sqrt x {\rm{ \;}} - 3}}{{(\sqrt x {\rm{ \;}} - 2)(\sqrt x {\rm{ \;}} + 2)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}}{{x - 4}}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}}{{x - 4}}\) với \(x > 0,x \ne 4\)

3) ĐKXĐ: \(x > 0,x \ne 4\)

\(P = AB = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}}{{x - 4}} = \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}}{{\sqrt x }}\)

Xét hiệu \(P - 1 = \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}}{{\sqrt x }} - 1 = \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 3 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \frac{3}{{\sqrt x }}\)

Ta có: \({P^2} - P = P(P - 1)\)

Vì \(x > 0\) nên \(\sqrt x {\rm{ \;}} > 0\) và \(\sqrt x {\rm{ \;}} + 3 > 0\)

Khi đó \(\frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 3}}{{\sqrt x }} > 0\) và \(\frac{3}{{\sqrt x }} > 0\) hay \(P > 0\) và \(P - 1 > 0\)

Suy ra \(P(P - 1) > 0\) hay \({P^2} - P > 0\)

Vậy \(P < {P^2}\) với \(x > 0,x \ne 4\)