Đề bài

Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m . Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ Oxy một cách phù hợp. Tìm phương trình của đồ thị parabol. Ứng dụng tính diện tích hình phẳng để tìm diện tích trồng hoa. Từ đó tính diện sân chơi.

Xét hệ trục tọa độ như hình:

Parabol có dạng \(y = a{x^2} + bx + {c_{}}\) \((a \ne 0)\).

Parabol đi qua gốc tọa độ O(0;0) \( \Rightarrow c = 0\).

Parabol đi qua 2 điểm (-30;20) và (30;20)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{900a + 30b = 20}\\{900a - 30b = 20}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{1}{{45}}}\\{b = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow y = \frac{1}{{45}}{x^2}\).

Diện tích nửa phần trồng hoa là: \({S_1} = \int\limits_{ - 30}^{30} {\left| {20 - \frac{1}{{45}}{x^2}} \right|} dx = 800\).

Diện tích phần sân chơi là: \(S = 60.80 - 2.800 = 3200\) \(({m^2})\).

Mở rộng

Để giải quyết bài toán này, các lý thuyết chính được sử dụng bao gồm:

1. Phương pháp tọa độ:

Sử dụng hệ trục tọa độ để biểu diễn các hình dạng hình học như hình chữ nhật, đường thẳng và parabol bằng các phương trình đại số.

2. Phương trình parabol:

Parabol có phương trình dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\). Qua các điểm thuộc đồ thị, ta lập và giải hệ phương trình để tìm các hệ số a, b, c.

3. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng đứng x = a, x = b được tính bằng công thức $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$.