Đề bài

Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(4;-2) và B(10;4). Điểm M trên trục tung sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tung độ của điểm M có giá trị là bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Đặt tọa độ vecto M theo 1 ẩn.

Tìm tổng tọa độ hai vecto \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \) và tính độ dài tổng đó theo 1 ẩn.

Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đó.

Vì \(M \in Oy\) nên \(M(0;{y_M})\).

Từ đó ta có \(\overrightarrow {MA}  = (4; - 2 - {y_M})\), \(\overrightarrow {MB}  = (10;4 - {y_M})\).

Suy ra \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = (4 + 10; - 2 - {y_M} + 4 - {y_M}) = (14;2 - 2{y_M})\).

Do đó \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = \sqrt {{{14}^2} + {{(2 - 2{y_M})}^2}} \).

Ta có \({(2 - 2{y_M})^2} \ge 0 \Rightarrow {14^2} + {(2 - {y_M})^2} \ge {14^2} \Rightarrow \sqrt {{{14}^2} + {{(2 - 2{y_M})}^2}}  \ge \sqrt {{{14}^2}}  = 14\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(2 - 2{y_M} = 0\) hay

\({y_M} = 1\).