Đề bài

Cho phương trình \(2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 3 = 0\)

a) Chứng minh phương trình đó luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là 2 nghiệm của phương trình đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 3{x_1}{x_2}\).

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta  > 0\) hoặc \(\Delta ' > 0\).

b) Bước 1: Áp dụng định lý Viète để tính \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\).

Bước 2: Biến đổi A để xuất hiện \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\).

Bước 3: Thay 2 hệ thức Viète vào biểu thức vừa tìm được rồi tính m.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Phương trình có các hệ số \(a = 2;b = 2\left( {m + 1} \right);c =  - 3\),

do đó \(b' = \frac{b}{2} = m + 1\)

Ta có \(\Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-2.\left( -3 \right)={{\left( m+1 \right)}^{2}}+6\). Do \({\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\); \(6 > 0\) nên \({\left( {m + 1} \right)^2} + 6 > 0\) với mọi \( m\).

Suy ra \(\Delta ' > 0\) với mọi \(m\).

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Vì phương trình luôn có nghiệm với mọi m nên áp dụng định lý Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{2} =  - m - 1;{x_1}{x_2} = \frac{{ - 3}}{2}\)

Ta lại có:

\(A = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 3{x_1}{x_2} \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} \\= {\left( {m + 1} \right)^2} - \frac{3}{2}\)

Vì \({\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\) nên \(A = {\left( {m + 1} \right)^2} - \frac{3}{2} \ge  - \frac{3}{2}\) với mọi \( m\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {m + 1} \right)^2} = 0\) hay \(m =  - 1\).

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \frac{3}{2}\) khi \(m =  - 1\).