Đề bài

a) Cho phương trình \( - {x^2} + 5kx + 4 = 0.\) Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thoả mãn điều kiện \(x_1^2 + x_2^2 + 6{x_1}{x_2} = 9.\)

b) Cho phương trình \(k{x^2} - 6\left( {k - 1} \right)x + 9\left( {k - 3} \right) = 0\left( {k \ne 0} \right).\)Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thoả mãn điều kiện \({x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2} = 0.\)

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm k để \(\Delta  \ge 0\) hoặc \(\Delta ' \ge 0\).

Bước 2: Áp dụng định lý Viète để tính \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\).

Bước 3: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng tổng và tích của \({x_1};{x_2}\) rồi thay vào đẳng thức để tìm k.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Phương trình có các hệ số \(a =  - 1;b = 5k;c = 4\).

Ta có \(\Delta  = {\left( {5k} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right).4 = 25{k^2} + 16 > 0\) với mọi \(k \in \mathbb{R}\).

Do \(\Delta  > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng định lý Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} = 5k;{x_1}.{x_2} =  - 4.\)

Ta lại có: \(x_1^2 + x_2^2 + 6{x_1}{x_2} = 9\)

suy ra \({\left( {x_1^{} + x_2^{}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2} = 9\)

hay \({\left( {5k} \right)^2} + 4.\left( { - 4} \right) = 9\)

Do đó \(25{k^2} - 16 = 9\), suy ra \(k = 1;k =  - 1\).

Vậy \(k = 1;k =  - 1\) là các giá trị cần tìm.

b) Phương trình có các hệ số \(a = k;b =  - 6\left( {k - 1} \right);c = 9\left( {k - 3} \right).\)

Do đó \(b' = \frac{b}{2} =  - 3\left( {k - 1} \right)\).

Ta có \(\Delta ' = {\left( { - 3\left( {k - 1} \right)} \right)^2} - k.9\left( {k - 3} \right) = 9k + 9\).

Để phương trình có 2 nghiệm thì \(\Delta ' \ge 0\) hay \(9k + 9 \ge 0\), suy ra \(k \ge  - 1\) và \(k \ne 0\).

Áp dụng định lý Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} = \frac{{6\left( {k - 1} \right)}}{k};{x_1}.{x_2} = \frac{{9\left( {k - 3} \right)}}{k}.\)

Ta lại có: \(\frac{{6\left( {k - 1} \right)}}{k} - \frac{{9\left( {k - 3} \right)}}{k} = 0\)

suy ra \( - 3k + 21 = 0\) hay \(k = 7\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy \(k = 7\) là giá trị cần tìm.