Đề bài

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, biết A(0;5), B(-2;8) và C(6;9). Giả sử điểm H(a;b) là chân đường cao vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC. Tính \(b + \frac{1}{2}a\)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH}  = k\overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)

8

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = (8;1)\), \(\overrightarrow {AH}  = (a - 0;b - 5) = (a;b - 5)\), \(\overrightarrow {BH}  = (a + 2;b - 8)\).

Vì AH vuông góc với BC nên ta có \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Rightarrow 8.a + 1.(b - 5) = 0 \Rightarrow 8a + b - 5 = 0\) (1).

Vì H là chân đường cao kẻ từ A nên B, H, C thẳng hàng hay \(\overrightarrow {BH} \), \(\overrightarrow {BC} \) cùng phương.

Khi đó \(\overrightarrow {BH}  = k\overrightarrow {BC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2 = k.8\\b - 8 = k.1\end{array} \right. \Rightarrow k = \frac{{a + 2}}{8} = b - 8\) (2).

Giải hệ hai phương trình (1), (2) ta được \(a =  - \frac{2}{5}\), \(b = \frac{{41}}{5}\).

Vậy \(b + \frac{1}{2}a = \frac{{41}}{5} + \frac{1}{2}.\left( { - \frac{2}{5}} \right) = 8\).