Đề bài

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

a) \(\overrightarrow {GN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {GB} \).

Đúng

Sai

b) \(\overrightarrow {GM}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {GC} \).

Đúng

Sai

c) \(\overrightarrow {GA}  = \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN} \).

Đúng

Sai

d) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN} \).

Đúng

Sai

Đáp án

a) \(\overrightarrow {GN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {GB} \).

Đúng

Sai

b) \(\overrightarrow {GM}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {GC} \).

Đúng

Sai

c) \(\overrightarrow {GA}  = \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN} \).

Đúng

Sai

d) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN} \).

Đúng

Sai

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc trung điểm, trọng tâm.

a) Sai. \(\overrightarrow {GN}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {GB} \) do hai vecto trên ngược hướng và \(GN = \frac{1}{2}GB\) (tính chất trọng tâm).

b) Đúng. \(\overrightarrow {GM}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {GC} \) do hai vecto trên ngược hướng và \(GM = \frac{1}{2}GC\) (tính chất trọng tâm).

c) Sai. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \), hay \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  =  - \overrightarrow {GA}  = \overrightarrow {AG} \).

Ta có:

\(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {GC}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {GB}  =  - \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AG}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {GA} \).

d) Sai. Gọi I là trung điểm của BC. Khi đó A, G, I thẳng hàng (trọng tâm G thuộc trung tuyến AM).

Lấy điểm D sao cho ABDC là hình bình hành. Khi đó I là trung điểm của AD.

Theo chứng minh trên, \(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AG}  =  - \frac{1}{2}.\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AI} } \right) =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AI}  =  - \frac{1}{3}.\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) =  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} \).

Mà \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD} \) (quy tắc hình bình hành).

Vậy \(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  =  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD}  =  - \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\).