Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a) \(\overrightarrow {GN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {GB} \).
b) \(\overrightarrow {GM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GC} \).
c) \(\overrightarrow {GA} = \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} \).
d) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} \).
a) \(\overrightarrow {GN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {GB} \).
b) \(\overrightarrow {GM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GC} \).
c) \(\overrightarrow {GA} = \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} \).
d) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} \).
Sử dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc trung điểm, trọng tâm.
a) Sai. \(\overrightarrow {GN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GB} \) do hai vecto trên ngược hướng và \(GN = \frac{1}{2}GB\) (tính chất trọng tâm).
b) Đúng. \(\overrightarrow {GM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GC} \) do hai vecto trên ngược hướng và \(GM = \frac{1}{2}GC\) (tính chất trọng tâm).
c) Sai. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \), hay \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {AG} \).
Ta có:
\(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {GB} = - \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {GA} \).
d) Sai. Gọi I là trung điểm của BC. Khi đó A, G, I thẳng hàng (trọng tâm G thuộc trung tuyến AM).
Lấy điểm D sao cho ABDC là hình bình hành. Khi đó I là trung điểm của AD.
Theo chứng minh trên, \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AG} = - \frac{1}{2}.\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AI} } \right) = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AI} = - \frac{1}{3}.\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} \).
Mà \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \) (quy tắc hình bình hành).
Vậy \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} = - \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?
A. \(\overrightarrow u = (2;3)\) và \(\overrightarrow v = \left( {\frac{1}{2};6} \right)\)
B. \(\overrightarrow a = (\sqrt 2 ;6)\) và \(\overrightarrow b = (1;3\sqrt 2 )\)
C. \(\overrightarrow i = (0;1)\) và \(\overrightarrow j = (1;0)\)
D. \(\overrightarrow c = (1;3)\) và \(\overrightarrow d = (2; - 6)\)
Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?
A. \(\overrightarrow u = (2;3)\) và \(\overrightarrow v = \left( {4;6} \right)\)
B. \(\overrightarrow a = (1; - 1)\) và \(\overrightarrow b = ( - 1;1)\)
C. \(\overrightarrow z = (a;b)\) và \(\overrightarrow t = ( - b;a)\)
D. \(\overrightarrow n = (1;1)\) và \(\overrightarrow k = (2;0)\)
Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?
A. \(\overrightarrow a = (1;1)\)
B. \(\overrightarrow b = (1; - 1)\)
C. \(\overrightarrow c = \left( {2;\frac{1}{2}} \right)\)
D. \(\overrightarrow d = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right)\)
Góc giữa vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 1} \right)\) và vectơ \(\overrightarrow b = ( - 2;0)\) có số đo bằng:
A. \({90^o}\)
B. \({0^o}\)
C. \({135^o}\)
D. \({45^o}\)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } )\overrightarrow c = \overrightarrow a \,\,( {\overrightarrow b .\overrightarrow c })\)
B. \({( {\overrightarrow a .\overrightarrow b })^2} = {\overrightarrow a ^2}\,.\,{\overrightarrow b ^2}\)
C. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = | {\overrightarrow a } |.\left| {\overrightarrow b } \right|\,\sin ( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } )\)
D. \(\overrightarrow a \,\,( {\overrightarrow b - \overrightarrow c }) = \overrightarrow a .\overrightarrow b - \overrightarrow a .\,\overrightarrow c \)
Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {45^o}\)
B. \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {45^o}\) và \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = {a^2}\)
C. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = {a^2}\sqrt 2 \)
D. \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} = - {a^2}\)
Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3 MC.
a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {MC} \)
b) Biểu thị vectơ \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (2; 1), B (-2; 5) và C (-5; 2).
a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \)
b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2), B (3; 4), C (-1; -2) và D (6;5).
a) Hãy tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \)
b) Hãy giải thích tại sao các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng phương.
c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương.
d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ \(\overrightarrow {AE} \) theo các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
Cho vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a \) (hay còn được viết là \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).
Cho ba vectơ \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b ,\;\overrightarrow u \) với \(|\overrightarrow a |\; = \;\,|\overrightarrow b |\; = 1\) và \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \). Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow j = \overrightarrow b .\) Chứng minh rằng:
a) Vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b )\)
b) \(\overrightarrow u = (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,).\overrightarrow a + (\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b ).\overrightarrow b \)
Trên sông, một cano chuyển động thẳng đều theo hướng \(S{15^o}E\) với vận tốc có độ lớn bằng 20 km/h. Tính vận tốc riêng của cano, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3 km/h.
Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, \(\widehat {BAD} = {60^o}\) (Hình 73).
a) Biểu thị các vecto \(\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AC} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} .\)
b) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ,\;\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AC} .\)
c) Tính độ dài các đường chéo \(BD,AC.\)
Hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm O và tạo với nhau một góc \((\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ) = \alpha \) làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (Hình 74). Lập công thức tính cường độ của hợp lực \(\overrightarrow F \) làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (giả sử chỉ có đúng hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) làm cho vật di chuyển).
Cho 3 vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Nếu hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng phương với \(\overrightarrow c \) thì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương
b) Nếu hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng ngược hướng với \(\overrightarrow c \) thì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng
Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.
a) Tính độ dài các vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} \)
b) Tìm trong hình ảnh vectơ đối nhau và có độ dài bằng \(\frac{{a\sqrt {10} }}{2}\)
Cho hình thoi ABCD đi có cạnh bằng a và có góc A bằng \(60^\circ \). Tìm độ dài của các vectơ sau: \(\overrightarrow p = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ;\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} ;\overrightarrow v = 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \).
Cho hình bình hành ABCD hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho \(\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AN} \) (hình 1)
a) Tìm tổng của các vectơ:
\(\overrightarrow {NC} \) và \(\overrightarrow {MC} \); \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {CD} \); \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {NC} \)
b) Tìm các vectơ hiệu:
\(\)\(\overrightarrow {NC} - \overrightarrow {MC} \); \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} \); \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {ME} \).
c) Chứng minh \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \)
Cho \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là hai vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?
a) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\);
b) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|\) .
Cho \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 0\). So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PS} = \overrightarrow 0 \).
Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía Bắc với tốc độ \(45\)m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc \(20^\circ \) về phía tây bắc (hình 2). Tính tốc độ của gió
Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \).
Một xe goòng được kéo bởi một lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn là là 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài là 200 m. Cho biết góc giữa lực \(\overrightarrow F \) và \(\overrightarrow {AB} \) là \(30^\circ \) và \(\overrightarrow F \) được phân tích thành 2 lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) (hình 3). Tính công sinh ra bởi các lực \(\overrightarrow F ,\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \).
Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên dòng chảy của nước trên con sông đó chạy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi \(\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} ,\overrightarrow v \) lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.
a) Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} ,\overrightarrow v \)
b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?
c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?
Cho tam giác \(OAB\) vuông cân, với \(OA = OB = a.\) Hãy xác định độ dài của các vectơ sau \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} ,\,\,2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} .\)
Cho tam giác \(ABC\) có trực tâm \(H,\) trọng tâm \(G\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(O.\)
a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\)
b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\)
c) Chứng minh rằng ba điểm \(G,\,\,H,\,\,O\) cùng thuộc một đường thẳng.
Cho tứ giác \(ABCD.\) Gọi \(M,\,\,N\) theo thứ tự là trung điểm của cạnh \(AB,\,\,CD\) và gọi \(I\) là trung điểm của \(MN.\) Chứng minh rằng với điểm \(O\) bất kì đều có
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OI} .\)
