Cho tam giác \(ABC\) nhọn, \(M\) là trung điểm \(BC\) và \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Đường thẳng qua \(H\) và vuông góc với \(MH\) cắt \(AB\) và \(AC\) theo thứ tự ở \(I\) và \(K\). Qua \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(IK\), cắt \(AH\) và \(AB\) theo thứ tự tại \(N\) và \(D\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\(NC = ND\);
-
B.
\(DB = NC\);
-
C.
Cả A, B đều sai
-
D.
Cả A, B đều đúng.
Chứng minh \(M\) là trực tâm của tam giác \(HNC\), từ đó suy ra \(MN \bot HC\).
Lại có \(HC \bot AB\) nên \(MN\parallel DB\).
Xét tam giác \(CBD\) có \(MN\parallel DB\), áp dụng định lý Thales để suy ra điều cần phải chứng minh.
Ta có \(AN \bot BC\) (do \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\)) nên \(HN \bot CM\) (\(H \in AN\), \(M \in BC\)).
Theo đề bài ta có \(IK\parallel DC\), \(IK \bot HM\), do đó \(HM \bot DC\) hay \(HM \bot NC\) (\(N \in DC\)).
Tam giác \(HNC\) có: \(HM \bot NC\), \(CM \bot HN\).
Do đó \(M\) là trực tâm của tam giác \(HNC\).
Suy ra \(MN \bot HC\).
Lại có \(HC \bot AB\) nên \(MN\parallel AB\) hay \(MN\parallel DB\).
Xét tam giác \(CBD\) có \(MN\parallel DB\) nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{CM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}}\) hay \(\frac{{CN}}{{ND}} = 1\) (Vì \(CM = MB\), do \(M\) là trung điểm của \(BC\))
Suy ra \(CN = ND\).
Đáp án : A
Danh sách bình luận