Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 6\, cm\), \(AC = 8\, cm\), \(BC = 10\, cm\) và đường cao \(AH\). Tính độ dài \(AH\).

• A. \(AH = 2,4\, cm\);
• B. \(AH = 3,6\, cm\);
• C. \(AH = 4,8\, cm\);
• D. \(AH = 5,4\, cm\).

Phương pháp giải

Áp dụng định lý pythagore đảo chỉ ra tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\)
Đặt \(BH = a\, cm\) (\(a > 0\));
Khi đó \(CH = 10 - a\,\left( {cm} \right)\)
Áp dụng định lý phthagore cho tam giác vuông \(AHB\) và \(AHC\) biểu diễn độ dài cạnh \(AH\) theo \(a\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\\B{C^2} = {10^2} = 100\end{array}\)

Suy ra \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Suy ra \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)

Đặt \(BH = a\, cm\) (\(a > 0\)); \(CH = 10 - a\,\left( {cm} \right)\)

*) Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\), áp dụng định lý Pythagore ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\)

Suy ra \(A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {6^2} - {a^2} = 36 - {a^2}\) (1)

*) Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\), áp dụng định lý Pythagore ta có:

\(A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\)

Suy ra \(A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} = {8^2} - {\left( {10 - a} \right)^2} = 64 - {\left( {10 - a} \right)^2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\begin{array}{l}36 - {a^2} = 64 - {\left( {10 - a} \right)^2}\\36 - {a^2} = 64 - \left( {100 - 20a + {a^2}} \right)\\ - {a^2} + {a^2} - 20a =  - 100 - 36 + 64\\ - 20a =  - 72\\a = 3,6\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Suy ra \(BH = 3,6\, cm\)

Khi đó, \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {6^2} - 3,{6^2} = 23,04\)

Suy ra \(AH = 4,8\,cm\)

Vậy \(AH = 4,8\,cm\)

Đáp án : C