Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6\, cm$, $AC = 8\, cm$, $BC = 10\, cm$ và đường cao $AH$. Tính độ dài $AH$.

• A. $AH = 2,4\, cm$;
• B. $AH = 3,6\, cm$;
• C. $AH = 4,8\, cm$;
• D. $AH = 5,4\, cm$.

Phương pháp giải

Áp dụng định lý pythagore đảo chỉ ra tam giác $ABC$ vuông tại $A$
Đặt $BH = a\, cm$ ($a > 0$);
Khi đó $CH = 10 - a\,\left( {cm} \right)$
Áp dụng định lý phthagore cho tam giác vuông $AHB$ và $AHC$ biểu diễn độ dài cạnh $AH$ theo $a$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\\B{C^2} = {10^2} = 100\end{array}$

Suy ra $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

Suy ra $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Đặt $BH = a\, cm$ ($a > 0$); $CH = 10 - a\,\left( {cm} \right)$

*) Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$, áp dụng định lý Pythagore ta có:

$A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}$

Suy ra $A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {6^2} - {a^2} = 36 - {a^2}$ (1)

*) Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$, áp dụng định lý Pythagore ta có:

$A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}$

Suy ra $A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} = {8^2} - {\left( {10 - a} \right)^2} = 64 - {\left( {10 - a} \right)^2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\begin{array}{l}36 - {a^2} = 64 - {\left( {10 - a} \right)^2}\\36 - {a^2} = 64 - \left( {100 - 20a + {a^2}} \right)\\ - {a^2} + {a^2} - 20a =  - 100 - 36 + 64\\ - 20a =  - 72\\a = 3,6\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Suy ra $BH = 3,6\, cm$

Khi đó, $A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {6^2} - 3,{6^2} = 23,04$

Suy ra $AH = 4,8\,cm$

Vậy $AH = 4,8\,cm$

Đáp án : C