Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông, tam giác $SAB$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $\left( {ABCD} \right)$. Chứng minh rằng:

a) $\left( {SAD} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.

b) $\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.

c) $\left( {SAD} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.

Phương pháp giải

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $AB$. Ta chứng minh được $SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc, ta cần chứng minh 1 đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $AB$. Ta có $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$, $SH \bot AB$, $AB = \left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right)$ nên suy ra $SH \bot \left( {ABCD} \right)$. Điều này dẫn tới $SH \bot AD$. Do $ABCD$ là hình vuông nên $AB \bot AD$.

Như vậy ta có $SH \bot AD$, $AB \bot AD$ nên suy ra $\left( {SAB} \right) \bot AD$.

Do $AD \subset \left( {SAD} \right)$ nên ta suy ra $\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAD} \right)$.

Ta có điều phải chứng minh.

b) Theo câu a, ta có $SH \bot \left( {ABCD} \right)$. Điều này dẫn tới $SH \bot BC$. Do $ABCD$ là hình vuông nên $AB \bot BC$.

Như vậy ta có $SH \bot BC$, $AB \bot BC$ nên suy ra $\left( {SAB} \right) \bot BC$.

Do $BC \subset \left( {SBC} \right)$ nên ta suy ra $\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.

Ta có điều phải chứng minh.

c) Theo câu a, ta có $\left( {SAB} \right) \bot AD$ nên $AD \bot SB$. Do tam giác $SAB$ vuông tại $S$, ta suy ra $SA \bot SB$.

Như vậy ta có $AD \bot SB$, $SA \bot SB$ nên $\left( {SAD} \right) \bot SB$.

Do $SB \subset \left( {SBC} \right)$ nên ta suy ra $\left( {SAD} \right) \bot \left( {SBC} \right)$