Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) bằng

A. \(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\)

B. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\)

D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính: Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) thì độ dài đoạn thẳng MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến (P), kí hiệu d(M; (P)). 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi E là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC đều nên AE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(AE \bot BC\)

Mà \(A'A \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'A \bot BC\). Do đó, \(BC \bot \left( {A'AE} \right)\).

Trong mặt phẳng (A’AE), kẻ \(AH \bot A'E\left( {H \in A'E} \right) \Rightarrow AH \bot BC\)

Vì \(AH \bot BC,AH \bot A'E \Rightarrow AH \bot \left( {A'BC} \right)\). Do đó, H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (A’BC) hay AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC)

Vì tam giác ABC đều nên \(AE = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vì \(A'A \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'A \bot EA\). Do đó, tam giác A’EA vuông tại A.

Suy ra: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A'{A^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\)

Chọn C