Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB = 2a,BC = a\), mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của CD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BE và SC.

A. \(\frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}\)

B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)

D. a

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau để tính: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại. 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi H là trung điểm của AB. Vì tam giác ABS đều nên SH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác.

Vì \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right),SH \bot AB,SH \subset \left( {SAB} \right)\) và AB là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Gọi F đối xứng với H qua B nên B là trung điểm của FH hay \(HB \) \( = BF\)

Chứng minh được tứ giác BECF là hình bình hành. Do đó, BE//CF

Do đó, \(d\left( {BE,CS} \right) \) \( = d\left( {BE,\left( {SCF} \right)} \right) \) \( = d\left( {B,\left( {SCF} \right)} \right) \) \( = \frac{1}{2}d\left( {H,\left( {SCF} \right)} \right)\)

Chứng minh được tứ giác HBCE là hình vuông cạnh a nên \(CH \) \( = BE \) \( = CF \) \( = a\sqrt 2 \)

Mà \(C{H^2} + C{F^2} \) \( = H{F^2}\left( { \) \( = 4{a^2}} \right)\) nên tam giác HCF vuông cân tại C.

Vì \(CF \bot HC,CF \bot SH \Rightarrow CF \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow \left( {SCF} \right) \bot \left( {SHC} \right)\)

Trong (SHC), kẻ \(HK \bot SC \Rightarrow HK \bot \left( {SCF} \right)\).

Suy ra \(d\left( {H,\left( {SCF} \right)} \right) \) \( = HK \Rightarrow d\left( {BE,SC} \right) \) \( = \frac{1}{2}HK\)

Vì SH là đường cao trong tam giác đều SAB nên \(SH \) \( = \frac{{BA\sqrt 3 }}{2} \) \( = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} \) \( = a\sqrt 3 \)

Tam giác SHC vuông tại H, đường cao HK có: \(\frac{1}{{H{K^2}}} \) \( = \frac{1}{{C{H^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} \) \( = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} \) \( = \frac{5}{{6{a^2}}} \Rightarrow HK \) \( = \frac{{a\sqrt {30} }}{5} \Rightarrow d\left( {BE,SC} \right) \) \( = \frac{1}{2}HK \) \( = \frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}\)

Chọn A