Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của SC.

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAG).

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính: Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) thì độ dài đoạn thẳng MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến (P), kí hiệu d(M; (P)). 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều, G là trọng tâm của tam giác ABC nên $SG \bot \left( {ABC} \right)$. Do đó, $d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right) = SG$

Vì tam giác ABC đều nên $\widehat {ABC} = {60^0}$.

Gọi I là giao điểm của AG và BC. Khi đó, $AG = \frac{2}{3}AI$

Tam giác ABC đều nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, tam giác ABI vuông tại I. Suy ra: $AI = AB.\sin \widehat {ABC} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = a\sqrt 3$

Vì $SG \bot \left( {ABC} \right),AG \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SG \bot AG$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ASG vuông tại G có:

$SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}  = a$

b) Vì $SC \cap \left( {SAG} \right) = S$ $\Rightarrow \frac{{d\left( {M,\left( {SAG} \right)} \right)}}{{d\left( {C,\left( {SAG} \right)} \right)}} = \frac{{MS}}{{CS}} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow d\left( {M,\left( {SAG} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {C,\left( {SAG} \right)} \right)$

Vì $CB \bot AI,CB \bot SG \Rightarrow CB \bot \left( {SAG} \right)$. Mà $CB \cap \left( {SAG} \right) = I$

Do đó, $d\left( {C,\left( {SAG} \right)} \right) = CI = \frac{1}{2}BC = \frac{{3a}}{2}$. Vậy $d\left( {M,\left( {SAG} \right)} \right) = \frac{{3a}}{4}$