Đề bài

Cho bất phương trình \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) \le m\).

Câu 1

Khi \(m = 2\), tập nghiệm của bất phương trình là:

A.

\(( - \infty ;1]\).

B.

\((0;1]\).

C.

\(( - \infty ;1)\).

D.

\(\left[ {0;1} \right]\).

Đáp án : B

Phương pháp giải

Giải bất phương trình cơ bản \({\log _a}b < m \Leftrightarrow b < {a^m}\) với \(a > 1\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Với \(m = 2\) ta có bất phương trình \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) \le 2\).

Điều kiên: \({5^x} - 1 > 0 \Leftrightarrow {5^x} > 1 \Leftrightarrow x > 0\).

\({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) \le 2 \Leftrightarrow {5^x} - 1 \le {2^2} \Leftrightarrow {5^x} \le 5 \Leftrightarrow x \le 1\).

Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của bất phương trình \((0;1]\).

---

Xem thêm các câu hỏi cùng đoạn

Câu 2

Gọi \(S\) là tập tất cả các giá trị nguyên của \(m\) sao cho bất phương trình có đúng 3 nghiệm nguyên. Số phần tử của \(S\) là:

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

Đáp án : D

Phương pháp giải

Giải bất phương trình cơ bản \({\log _a}b < m \Leftrightarrow b < {a^m}\) với \(a > 1\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) \le m\)

ĐK: \(x > 0\)

\({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) \le m \Leftrightarrow {5^x} - 1 \le {2^m} \Leftrightarrow {5^x} \le {2^m} + 1 \Leftrightarrow x \le {\log _5}\left( {{2^m} + 1} \right)\)

\( \Rightarrow 0 < x \le {\log _5}\left( {{2^m} + 1} \right)\)

Như vậy, x có thể đạt các giá trị nguyên 1; 2; 3; 4;... đến khi nhỏ hơn \({\log _5}\left( {{2^m} + 1} \right)\) hoặc bằng \({\log _5}\left( {{2^m} + 1} \right)\) (trong trường hợp \({\log _5}\left( {{2^m} + 1} \right)\) nguyên).

Để bất phương trình có đúng 3 nghiệm nguyên (x = 1; x = 2; x = 3) thì

\(\begin{array}{l}3 \le {\log _5}\left( {{2^m} + 1} \right) < 4\\ \Leftrightarrow 125 \le {2^m} + 1 < 625\\ \Leftrightarrow {\log _2}124 \le m < {\log _2}624\\ \Leftrightarrow 6,9 \le m < 9,2\\ \Leftrightarrow m \in \left\{ {7,8,9} \right\}\end{array}\)

Vậy số giá trị nguyên của m thỏa mãn là 3.

---