Đề bài

Cho hàm số \(f(x) = 2{x^3} - 3(m + 1){x^2} + 6mx + 1\), với \(m\) là tham số thực.

Câu 1

Với \(m = 3,\) giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) là:

A.

5

B.

9

C.

11

D.

17

Đáp án : B

Phương pháp giải

Sử dụng đạo hàm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Với \(m = 3,\) có \(f(x) = 2{x^3} - 12{x^2} + 18x + 1\).

\(f'(x) = 6{x^2} - 24x + 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Có \(f(0) = f(3) = 1;f(1) = 9.\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = 9\).

---

Xem thêm các câu hỏi cùng đoạn

Câu 2

Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\) khi và chỉ khi

A.

\(m \le 1.\)

B.

\(m \ge 1.\)

C.

\(m \le 3.\)

D.

\(m \ge 3.\)

Đáp án : D

Phương pháp giải

Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\) thì \(f'(x) \le 0,\forall x \in (1;3)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Có \(f(x) = 2{x^3} - 3(m + 1){x^2} + 6mx + 1\).

\(f'(x) = 6{x^2} - 6(m + 1)x + 6m\).

Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\) thì \(f'(x) \le 0,\forall x \in (1;3)\).

Có:

 \(\begin{array}{l}f'(x) \le 0\\ \Leftrightarrow 6{x^2} - 6(m + 1)x + 6m \le 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + m \le 0\\ \Leftrightarrow mx - m \ge {x^2} - x\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{{{x^2} - x}}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow m \ge x,x \in (1;3)\end{array}\)

Vậy \(m \ge 3\) thì hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\).

---

Câu 3

Đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 2 khi và chỉ khi

A.

\(m > 3.\)

B.

\(m < 3.\)

C.

\(m > 9.\)

D.

\(m < 9.\)

Đáp án : A

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

 \(\begin{array}{l}2{x^3} - 3(m + 1){x^2} + 6mx + 1 = 1\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - 3(m + 1){x^2} + 6mx = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0(loai)\\2{x^2} - 3(m + 1)x + 6m = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Xét \(2{x^2} - 3(m + 1)x + 6m = 0\).

Để đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại hai điểm phân biệt thì:

 \(\begin{array}{l}\Delta  = 9{(m + 1)^2} - 48m \ge 0\\ \Leftrightarrow 9{m^2} - 30m + 9 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le \frac{1}{3}\\m \ge 3\end{array} \right.\end{array}\)

Hai nghiệm có hoành độ lớn hơn 2, có \(ac > 0 \Leftrightarrow 12m > 0 \Leftrightarrow m > 0.\)

Xét \(m = 3\), có \(2{x^3} - 12{x^2} + 18x + 1 = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\) không thỏa mãn.

Vậy \(m > 3.\)

---